Номер 5.34, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.34. Стороны параллелограмма равны $\text{a}$ и $\text{b}$, а острый угол равен $\phi$. Найдите тангенсы углов, образованных диагональю острого угла и сторонами параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм со сторонами $a$ и $b$, и острым углом $ \phi $ между ними. Обозначим вершины параллелограмма как ABCD, где $AB = a$, $AD = b$ и $ \angle DAB = \phi $.

"Диагональ острого угла" — это диагональ, исходящая из вершины этого угла. В нашем случае это диагональ AC. Она разделяет угол $ \phi $ на два угла: $ \angle CAB $ (прилежащий к стороне a) и $ \angle CAD $ (прилежащий к стороне b). Требуется найти тангенсы этих двух углов.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим вершину A в начале координат (0, 0) и направим сторону AB вдоль оси Ox. Тогда координаты вершин будут следующими:

• A(0, 0)
• B(a, 0)
• D(b cos $ \phi $, b sin $ \phi $)
• C(a + b cos $ \phi $, b sin $ \phi $), так как $ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} $

Угол, образованный диагональю AC и стороной a (отрезок AB), — это $ \angle CAB $. Его тангенс равен угловому коэффициенту (наклону) прямой AC. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $ A(x_1, y_1) $ и $ C(x_2, y_2) $, вычисляется как $ k = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1) $. Для точек A(0, 0) и C(a + b cos $ \phi $, b sin $ \phi $) получаем: $ \text{tg}(\angle CAB) = \frac{b \sin \phi - 0}{a + b \cos \phi - 0} = \frac{b \sin \phi}{a + b \cos \phi} $

Ответ: $ \frac{b \sin \phi}{a + b \cos \phi} $

Угол, образованный диагональю AC и стороной b (отрезок AD), — это $ \angle CAD $. Сумма углов $ \angle CAB $ и $ \angle CAD $ равна углу параллелограмма $ \phi $, поэтому $ \angle CAD = \phi - \angle CAB $. Воспользуемся формулой тангенса разности: $ \text{tg}(x - y) = \frac{\text{tg}x - \text{tg}y}{1 + \text{tg}x \cdot \text{tg}y} $ Подставим $ x = \phi $ и $ y = \angle CAB $: $ \text{tg}(\angle CAD) = \frac{\text{tg}\phi - \text{tg}(\angle CAB)}{1 + \text{tg}\phi \cdot \text{tg}(\angle CAB)} = \frac{\frac{\sin \phi}{\cos \phi} - \frac{b \sin \phi}{a + b \cos \phi}}{1 + \frac{\sin \phi}{\cos \phi} \cdot \frac{b \sin \phi}{a + b \cos \phi}} $ Умножим числитель и знаменатель на $ \cos \phi (a + b \cos \phi) $, чтобы избавиться от многоэтажной дроби: $ \text{tg}(\angle CAD) = \frac{\sin \phi (a + b \cos \phi) - b \sin \phi \cos \phi}{\cos \phi (a + b \cos \phi) + b \sin^2 \phi} $ Раскроем скобки в числителе и знаменателе: $ \text{tg}(\angle CAD) = \frac{a \sin \phi + b \sin \phi \cos \phi - b \sin \phi \cos \phi}{a \cos \phi + b \cos^2 \phi + b \sin^2 \phi} $ Упростим, зная, что $ \cos^2\phi + \sin^2\phi = 1 $: $ \text{tg}(\angle CAD) = \frac{a \sin \phi}{a \cos \phi + b(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)} = \frac{a \sin \phi}{a \cos \phi + b} $

Ответ: $ \frac{a \sin \phi}{b + a \cos \phi} $