Номер 5.4, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.4. Медиана прямоугольного треугольника длиной $\text{m}$, проведенная к гипотенузе, делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите катеты треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Пусть $CM$ — медиана, проведенная к гипотенузе $AB$. По условию, длина этой медианы $CM = m$.

Одно из ключевых свойств прямоугольного треугольника заключается в том, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это также означает, что точка $M$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$, и, следовательно, $AM = BM = CM$.

Так как $CM = m$, то $AM = BM = m$. Длина гипотенузы $AB$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $BM$, то есть $AB = AM + BM = m + m = 2m$.

По условию, медиана $CM$ делит прямой угол $\angle ACB$ в отношении $1:2$. Обозначим углы, на которые делится прямой угол, как $\angle ACM$ и $\angle BCM$. Пусть $\angle ACM = x$, тогда $\angle BCM = 2x$. Их сумма равна $90^\circ$:

$x + 2x = 90^\circ$

$3x = 90^\circ$

$x = 30^\circ$

Следовательно, $\angle ACM = 30^\circ$ и $\angle BCM = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BMC$. Так как $CM = BM = m$, этот треугольник является равнобедренным. Углы при его основании $BC$ равны, поэтому $\angle MBC$ (он же $\angle B$ исходного треугольника) равен $\angle BCM$.

$\angle B = \angle BCM = 60^\circ$.

Поскольку в треугольнике $BMC$ два угла равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle BMC$ также равен $180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$. Это означает, что треугольник $BMC$ является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны:

$BC = BM = CM = m$.

Таким образом, мы нашли длину одного из катетов: $BC = m$.

Теперь найдем длину второго катета $AC$. Мы можем использовать теорему Пифагора для исходного треугольника $ABC$ ($AC^2 + BC^2 = AB^2$):

$AC^2 + m^2 = (2m)^2$

$AC^2 + m^2 = 4m^2$

$AC^2 = 4m^2 - m^2$

$AC^2 = 3m^2$

$AC = \sqrt{3m^2} = m\sqrt{3}$

Катеты треугольника равны $m$ и $m\sqrt{3}$.

Ответ: $m$ и $m\sqrt{3}$.