Номер 47, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

47. Какими свойствами обладает биссектриса треугольника?

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину угла с точкой на противолежащей стороне. Биссектриса обладает несколькими важными свойствами.

1. Деление противолежащей стороны (Теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Например, если в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CL$ из вершины $C$ к стороне $AB$, то выполняется следующее соотношение:

$\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{CB}$

где $AL$ и $LB$ — отрезки, на которые биссектриса делит сторону $AB$, а $AC$ и $CB$ — прилежащие к углу $C$ стороны.

Ответ: Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

2. Точка пересечения биссектрис (инцентр)

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром или центром окружности, вписанной в треугольник. Инцентр всегда находится внутри треугольника. Эта точка равноудалена от всех трех сторон треугольника, а расстояние от инцентра до любой из сторон равно радиусу вписанной окружности ($r$).

Ответ: Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в него окружности.

3. Длина биссектрисы

Длину биссектрисы ($l_c$), проведенной к стороне $c$, можно найти по формуле через длины сторон треугольника $a$, $b$ и $c$:

$l_c = \sqrt{ab - ab \cdot (\frac{c}{a+b})^2}$

Или по более простой для запоминания формуле, если известны отрезки $a_1$ и $b_1$, на которые биссектриса делит противолежащую сторону $c$:

$l_c^2 = a \cdot b - a_1 \cdot b_1$

Ответ: Длину биссектрисы можно вычислить по формулам, связывающим ее со сторонами треугольника.

4. Свойство в равнобедренном треугольнике

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является одновременно медианой (делит основание пополам) и высотой (перпендикулярна основанию). В равностороннем треугольнике любая биссектриса является также медианой и высотой.

Ответ: Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой и высотой.