Номер 45, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

45. Какие метрические соотношения в прямоугольном треугольнике вы знаете?

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике — это формулы, которые связывают длины его сторон (катетов и гипотенузы), высоту, медианы, а также значения его углов. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где:

• $a$ и $b$ — катеты;
• $c$ — гипотенуза;
• $\alpha$ и $\beta$ — острые углы, лежащие напротив катетов $a$ и $b$ соответственно;
• $h$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу;
• $a_c$ и $b_c$ — проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу ($c = a_c + b_c$).

1. Теорема Пифагора

Это самое известное соотношение в прямоугольном треугольнике. Оно гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$c^2 = a^2 + b^2$

Из этой теоремы можно выразить любую сторону через две другие:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Ответ: $c^2 = a^2 + b^2$.

2. Тригонометрические соотношения

Эти соотношения связывают острые углы треугольника с отношениями длин его сторон.

- Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin \alpha = \frac{a}{c}$, $\sin \beta = \frac{b}{c}$

- Косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos \alpha = \frac{b}{c}$, $\cos \beta = \frac{a}{c}$

- Тангенс острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

$\tan \alpha = \frac{a}{b}$, $\tan \beta = \frac{b}{a}$

- Котангенс острого угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему:

$\cot \alpha = \frac{b}{a}$, $\cot \beta = \frac{a}{b}$

Ответ: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$, $\cos \alpha = \frac{b}{c}$, $\tan \alpha = \frac{a}{b}$.

3. Соотношения для высоты, опущенной на гипотенузу

Существует несколько важных соотношений, связанных с высотой $h$, проведенной к гипотенузе.

- Квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

$h^2 = a_c \cdot b_c$

- Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:

$a^2 = c \cdot a_c$

$b^2 = c \cdot b_c$

- Произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, опущенную на гипотенузу (это следует из формулы площади):

$a \cdot b = c \cdot h$

Ответ: $h^2 = a_c \cdot b_c$; $a^2 = c \cdot a_c$; $b^2 = c \cdot b_c$; $a \cdot b = c \cdot h$.

4. Свойство медианы, проведенной к гипотенузе

Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе ($m_c$), равна половине гипотенузы.

$m_c = \frac{c}{2}$

Это также означает, что гипотенуза является диаметром описанной около прямоугольного треугольника окружности, а ее центр лежит на середине гипотенузы. Радиус описанной окружности $R = m_c = \frac{c}{2}$.

Ответ: $m_c = \frac{c}{2}$.

5. Радиус вписанной окружности

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a+b-c}{2}$

Ответ: $r = \frac{a+b-c}{2}$.

6. Формулы площади

Площадь $S$ прямоугольного треугольника можно найти несколькими способами:

- Как половину произведения катетов:

$S = \frac{1}{2} a \cdot b$

- Как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:

$S = \frac{1}{2} c \cdot h$

Ответ: $S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c \cdot h$.