Номер 8, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8. Что такое скалярное произведение векторов? Докажите формулу $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot \cos(\widehat{\bar{a},\bar{b}})$. Как определяется скалярное произведение в координатах?

Что такое скалярное произведение векторов?

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$.

Формула скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, а $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ — угол между ними.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение по определению равно нулю. Важным свойством является то, что если векторы перпендикулярны (ортогональны), то угол между ними равен $90^\circ$, и $\cos(90^\circ) = 0$, следовательно, их скалярное произведение равно нулю.

Ответ: Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то их скалярное произведение равно $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Докажите формулу $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Данная формула является определением скалярного произведения в геометрической форме. Однако, ее можно вывести, если принять за основу алгебраические свойства скалярного произведения и теорему косинусов. Доказательство проводится с использованием теоремы косинусов для треугольника, образованного векторами.

1. Отложим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной точки $O$. Пусть вектор $\vec{a}$ соответствует вектору $\vec{OA}$, а вектор $\vec{b}$ — вектору $\vec{OB}$.

2. Рассмотрим треугольник $OAB$. Стороны этого треугольника имеют длины $|\vec{OA}| = |\vec{a}|$, $|\vec{OB}| = |\vec{b}|$. Третья сторона $\vec{AB}$ может быть выражена как разность векторов: $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$. Длина этой стороны равна $|\vec{b} - \vec{a}|$. Угол между сторонами $OA$ и $OB$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, обозначим его $\alpha = (\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

3. Применим к треугольнику $OAB$ теорему косинусов для стороны $AB$:

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 - 2 \cdot |\vec{OA}| \cdot |\vec{OB}| \cdot \cos(\alpha)$

Подставим векторные обозначения:

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

4. Вспомним, что квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на самого себя: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Используя это свойство и свойство дистрибутивности скалярного произведения, раскроем левую часть уравнения:

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{a}$

Так как $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$, $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ и скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), получаем:

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

5. Теперь приравняем выражения, полученные в пунктах 3 и 4:

$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

6. Сократим одинаковые члены $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$ в обеих частях равенства:

$-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

7. Разделив обе части на $-2$, получаем искомую формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула доказывается с помощью теоремы косинусов, примененной к треугольнику, сторонами которого являются векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и их разность $\vec{b} - \vec{a}$.

Как определяется скалярное произведение в координатах?

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами в прямоугольной (декартовой) системе координат, равно сумме произведений их соответствующих координат.

Пусть в двумерном пространстве даны векторы $\vec{a} = (a_x, a_y)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y)$. Их скалярное произведение вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$

Пусть в трехмерном пространстве даны векторы $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$. Их скалярное произведение вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Эта формула получается путем разложения векторов по ортам (единичным векторам) координатных осей $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ и использования их свойств: $\vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = \vec{k} \cdot \vec{k} = 1$ и $\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0$.

Ответ: Скалярное произведение векторов, заданных в координатах, равно сумме произведений их соответствующих координат. Для векторов $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ оно равно $a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.