Номер 28, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

28. Напишите формулу деления отрезка в данном соотношении. Как определяется середина отрезка?

Формула деления отрезка в данном соотношении

Деление отрезка в данном соотношении — это нахождение координат точки, которая делит этот отрезок на две части с заданным отношением их длин.

Пусть на плоскости заданы две точки, являющиеся концами отрезка: $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Пусть точка $C(x, y)$ лежит на отрезке $AB$ и делит его в отношении $\lambda$, то есть отношение длины отрезка $AC$ к длине отрезка $CB$ равно $\lambda$: $$ \frac{AC}{CB} = \lambda $$ Координаты точки $C$ находятся по следующим формулам:

$$ x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda} $$$$ y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} $$

Здесь $\lambda$ — положительное число. Если отношение задано в виде $m:n$, то $\lambda = \frac{m}{n}$, и формулы можно записать так:

$$ x = \frac{nx_1 + mx_2}{n + m} $$$$ y = \frac{ny_1 + my_2}{n + m} $$

Данный принцип применим и для трехмерного пространства, для этого нужно лишь добавить аналогичную формулу для координаты $z$: $$ z = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda} $$

Ответ: Координаты $(x, y)$ точки, делящей отрезок с концами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ в отношении $\lambda = AC/CB$, находятся по формулам: $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$ и $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$.

Как определяется середина отрезка?

Середина отрезка — это точка, которая делит отрезок на две равные части. Определение координат середины отрезка является частным случаем деления отрезка в данном соотношении.

Для середины отрезка отношение длин его частей равно 1, то есть $\lambda = 1$ (или $m:n = 1:1$).

Если подставить $\lambda=1$ в общую формулу деления отрезка, мы получим формулы для координат середины отрезка $C(x_c, y_c)$ с концами в точках $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$:

$$ x_c = \frac{x_1 + 1 \cdot x_2}{1 + 1} = \frac{x_1 + x_2}{2} $$$$ y_c = \frac{y_1 + 1 \cdot y_2}{1 + 1} = \frac{y_1 + y_2}{2} $$

Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Ответ: Середина отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ имеет координаты $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$. Иными словами, координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его конечных точек.