Номер 21, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

21. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть геометрическое среднее гипотенузы и проекции данного катета на нее.

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Обозначим длины катетов как $BC = a$ и $AC = b$, а длину гипотенузы как $AB = c$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. Точка $H$ является основанием высоты. Отрезок $BH$ — это ортогональная проекция катета $BC$ на гипотенузу $AB$. Обозначим длину этой проекции как $a_c$. Аналогично, отрезок $AH$ — это проекция катета $AC$ на гипотенузу, его длина — $b_c$.

Требуется доказать, что катет является средним геометрическим гипотенузы и своей проекции на гипотенузу, то есть $a = \sqrt{c \cdot a_c}$ (или, что то же самое, $a^2 = c \cdot a_c$).

Для доказательства рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CBH$.

1. Треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным по условию ($\angle ACB = 90^\circ$).

2. Треугольник $\triangle CBH$ является прямоугольным по построению, так как $CH$ — высота ($\angle CHB = 90^\circ$).

3. Угол $\angle B$ у этих треугольников общий.

Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CBH$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников). Запишем это как $\triangle ABC \sim \triangle CBH$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон. Соответствующими являются стороны, лежащие напротив равных углов.

- В $\triangle ABC$ гипотенуза $AB$ (длиной $c$) лежит напротив прямого угла $\angle ACB$. В $\triangle CBH$ гипотенуза $BC$ (длиной $a$) лежит напротив прямого угла $\angle CHB$.

- В $\triangle ABC$ катет $BC$ (длиной $a$) лежит напротив угла $\angle A$. В $\triangle CBH$ катет $BH$ (длиной $a_c$) лежит напротив угла $\angle BCH$, который равен углу $\angle A$ (так как $\angle A = 90^\circ - \angle B$ и $\angle BCH = 90^\circ - \angle B$).

Запишем соотношение для этих пар соответствующих сторон: $\frac{AB}{CB} = \frac{BC}{BH}$

Подставив наши буквенные обозначения, получим пропорцию: $\frac{c}{a} = \frac{a}{a_c}$

По основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), имеем: $a \cdot a = c \cdot a_c$ $a^2 = c \cdot a_c$

Так как длина отрезка — положительная величина, из этого равенства следует, что $a = \sqrt{c \cdot a_c}$. Это и означает, что катет $a$ есть среднее геометрическое гипотенузы $c$ и проекции этого катета на гипотенузу $a_c$.

Аналогичное утверждение для катета $b$ ($b^2 = c \cdot b_c$) доказывается через подобие треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ACH$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что в прямоугольном треугольнике катет есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Для катета $a$, гипотенузы $c$ и проекции катета $a_c$ на гипотенузу справедливо соотношение: $a^2 = c \cdot a_c$.