Номер 24, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

24. Как можно построить треугольник по трем сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и прилежащим к ней углам?

Построение треугольника по трем сторонам

Пусть даны три отрезка, длины которых равны $a$, $b$ и $c$. Необходимо построить треугольник со сторонами, равными этим отрезкам. Для существования такого треугольника необходимо выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны ($a+b > c$, $a+c > b$, $b+c > a$). Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отмеряем отрезок длиной $c$ и откладываем его от точки $A$ на прямой, получая точку $B$. Отрезок $AB$ – одна из сторон будущего треугольника.
3. Раствором циркуля, равным длине отрезка $b$, проводим окружность (или дугу) с центром в точке $A$.
4. Раствором циркуля, равным длине отрезка $a$, проводим окружность (или дугу) с центром в точке $B$.
5. Точка пересечения этих двух окружностей (дуг) является третьей вершиной треугольника, обозначим её $C$. (Если окружности не пересекаются или касаются, то треугольник построить нельзя, так как не выполняется строгое неравенство треугольника).
6. Соединяем точки $A$ и $C$, а также $B$ и $C$ отрезками с помощью линейки.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как его стороны по построению равны $AB = c$, $AC = b$ и $BC = a$.

Ответ: Построение выполняется путем откладывания одной стороны на прямой и нахождения третьей вершины как точки пересечения двух дуг окружностей, проведенных из концов отложенной стороны с радиусами, равными двум другим сторонам.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть даны два отрезка длиной $a$ и $b$ и угол $\gamma$, заключенный между ними.

1. Проводим произвольную прямую и на ней откладываем отрезок $AC$, равный по длине стороне $b$.
2. От луча $CA$ откладываем угол, равный данному углу $\gamma$, с вершиной в точке $C$. Для этого используем циркуль и линейку: строим дугу произвольного радиуса с центром в вершине данного угла, затем с тем же радиусом строим дугу с центром в точке $C$, пересекающую луч $CA$. Измеряем циркулем расстояние между точками пересечения первой дуги со сторонами данного угла и откладываем это расстояние на второй дуге от точки её пересечения с лучом $CA$. Проводим второй луч угла из точки $C$ через полученную отметку.
3. На построенном луче от точки $C$ откладываем отрезок $CB$, равный по длине стороне $a$.
4. Соединяем точки $A$ и $B$ отрезком.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению $AC = b$, $BC = a$ и $\angle C = \gamma$.

Ответ: Построение выполняется путем откладывания одной стороны, построения от одного из её концов заданного угла и откладывания на второй стороне угла второй известной стороны. Третья сторона соединяет концы двух построенных.

Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Пусть дан отрезок длиной $c$ и два угла $\alpha$ и $\beta$, прилежащие к этой стороне. Для существования треугольника сумма данных углов должна быть меньше $180^\circ$ ($\alpha + \beta < 180^\circ$).

1. Проводим прямую и откладываем на ней отрезок $AB$, равный по длине данному отрезку $c$.
2. От луча $AB$ с вершиной в точке $A$ откладываем угол, равный углу $\alpha$. Построение угла выполняется аналогично предыдущему пункту.
3. От луча $BA$ с вершиной в точке $B$ откладываем угол, равный углу $\beta$. Углы должны строиться в одной и той же полуплоскости относительно прямой $AB$.
4. Лучи, являющиеся вторыми сторонами построенных углов, пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку $C$. (Если $\alpha + \beta \ge 180^\circ$, лучи не пересекутся в нужной полуплоскости, и треугольник построить будет невозможно).

Треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению сторона $AB = c$, а прилежащие к ней углы равны $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$.

Ответ: Построение выполняется путем откладывания известной стороны и построения от её концов двух заданных углов в одной полуплоскости. Третья вершина находится в точке пересечения сторон этих углов.