Номер 21, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

21. Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников.

Прямоугольные треугольники равны, если у них соответственно равны какие-либо из следующих элементов:

1. По двум катетам

Теорема: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых углы $\angle C$ и $\angle C_1$ прямые. Пусть их катеты равны: $AC = A_1C_1$ и $BC = B_1C_1$. Угол, заключенный между катетами $AC$ и $BC$, — это прямой угол $\angle C$. Аналогично, угол между катетами $A_1C_1$ и $B_1C_1$ — это прямой угол $\angle C_1$. Так как $AC = A_1C_1$, $BC = B_1C_1$ и $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$, то треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Признак доказан.

2. По катету и прилежащему острому углу

Теорема: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямыми углами $\angle C$ и $\angle C_1$. Пусть катет $AC = A_1C_1$ и прилежащий к нему острый угол $\angle A = \angle A_1$. Поскольку $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$, то сторона $AC$ и прилежащие к ней углы $\angle A$ и $\angle C$ в $\triangle ABC$ соответственно равны стороне $A_1C_1$ и прилежащим к ней углам $\angle A_1$ и $\angle C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Признак доказан.

3. По гипотенузе и острому углу

Теорема: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямыми углами $\angle C$ и $\angle C_1$. Пусть гипотенуза $AB = A_1B_1$ и острый угол $\angle A = \angle A_1$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, а так как один из углов равен $90^\circ$, то сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Отсюда $\angle B = 90^\circ - \angle A$ и $\angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1$. Так как по условию $\angle A = \angle A_1$, то и $\angle B = \angle B_1$. Теперь мы имеем, что сторона $AB$ и прилежащие к ней углы $\angle A$ и $\angle B$ треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны стороне $A_1B_1$ и прилежащим к ней углам $\angle A_1$ и $\angle B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Признак доказан.

4. По катету и противолежащему острому углу

Теорема: если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямыми углами $\angle C$ и $\angle C_1$. Пусть катет $BC = B_1C_1$ и противолежащий ему острый угол $\angle A = \angle A_1$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому $\angle B = 90^\circ - \angle A$ и $\angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1$. Из равенства углов $\angle A = \angle A_1$ следует равенство углов $\angle B = \angle B_1$. Теперь в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны катет ($BC=B_1C_1$) и прилежащий к нему острый угол ($\angle B = \angle B_1$). Таким образом, треугольники равны по признаку равенства по катету и прилежащему острому углу.

Ответ: Признак доказан.

5. По гипотенузе и катету

Теорема: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямыми углами $\angle C$ и $\angle C_1$. Пусть гипотенуза $AB = A_1B_1$ и катет $AC = A_1C_1$. Приложим $\triangle A_1B_1C_1$ к $\triangle ABC$ так, чтобы равные катеты $AC$ и $A_1C_1$ совпали, а вершины $B$ и $B_1$ оказались по разные стороны от прямой $AC$. Поскольку $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle AC_1B_1 = \angle ACB_1 = 90^\circ$, то угол $\angle BCB_1$ будет развернутым ($\angle BCB_1 = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$), а значит, точки $B$, $C$, $B_1$ лежат на одной прямой. В получившемся треугольнике $\triangle ABB_1$ стороны $AB$ и $AB_1$ равны ($AB = A_1B_1$ по условию). Следовательно, $\triangle ABB_1$ — равнобедренный с основанием $BB_1$. Отрезок $AC$ является в нем высотой, проведенной к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, $C$ — середина отрезка $BB_1$, и $BC = CB_1$. Так как $CB_1 = C_1B_1$, то и $BC = B_1C_1$. Теперь мы видим, что в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ катеты $AC$ и $BC$ соответственно равны катетам $A_1C_1$ и $B_1C_1$. Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам.

Ответ: Признак доказан.