Номер 14, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

14. Сформулируйте признаки параллельности прямых и докажите их.

Признаки параллельности прямых — это три теоремы, которые позволяют установить, что две прямые параллельны, основываясь на свойствах углов, образованных при пересечении этих двух прямых третьей прямой, называемой секущей.

Перед формулировкой признаков введем основные понятия. Пусть две прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$. При этом образуется 8 углов. Пары этих углов имеют специальные названия:

• Накрест лежащие углы: две пары углов, которые лежат по разные стороны от секущей $c$ и между прямыми $a$ и $b$.
• Соответственные углы: четыре пары углов, которые лежат по одну сторону от секущей $c$, при этом один угол находится между прямыми $a$ и $b$, а другой — вне этого промежутка, и они не являются смежными.
• Односторонние углы: две пары углов, которые лежат по одну сторону от секущей $c$ и оба находятся между прямыми $a$ и $b$.

Признак 1. По равенству накрест лежащих углов

Формулировка: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ — накрест лежащие, и $\angle 1 = \angle 2$.

Доказать: $a \parallel b$.

Доказательство (методом от противного):

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке $O$. Пусть секущая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $A$, а прямую $b$ — в точке $B$. Тогда точки $A$, $B$ и $O$ образуют треугольник $ABO$.

В этом треугольнике один из накрест лежащих углов (например, $\angle 2$) будет внутренним углом треугольника, а другой угол ($\angle 1$) будет являться внешним углом этого треугольника при другой вершине.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Отсюда следует, что $\angle 1 > \angle 2$.

Однако это неравенство противоречит условию теоремы, по которому $\angle 1 = \angle 2$.

Возникшее противоречие означает, что наше исходное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, неверно. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не пересекаются, то есть они параллельны.

Ответ: Так как предположение о пересечении прямых приводит к противоречию, то прямые $a$ и $b$ параллельны. Что и требовалось доказать.

Признак 2. По равенству соответственных углов

Формулировка: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ — соответственные, и $\angle 1 = \angle 2$.

Доказать: $a \parallel b$.

Доказательство:

Рассмотрим угол $\angle 3$, который является вертикальным углу $\angle 1$. По свойству вертикальных углов, $\angle 3 = \angle 1$.

По условию теоремы нам дано, что $\angle 1 = \angle 2$.

Из двух приведенных равенств следует, что $\angle 3 = \angle 2$.

Углы $\angle 3$ и $\angle 2$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$.

Поскольку накрест лежащие углы равны, то согласно первому признаку параллельности прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны.

Ответ: На основании равенства накрест лежащих углов (которое следует из условия) и первого признака параллельности, прямые $a$ и $b$ параллельны. Что и требовалось доказать.

Признак 3. По сумме односторонних углов

Формулировка: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Дано: Прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ — односторонние, и $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Доказать: $a \parallel b$.

Доказательство:

Рассмотрим угол $\angle 3$, который является смежным с углом $\angle 1$. По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$, то есть $\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$.

По условию теоремы нам также дано, что $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Сравнивая два этих равенства ($\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$ и $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$), мы заключаем, что $\angle 3 = \angle 2$.

Углы $\angle 3$ и $\angle 2$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$.

Так как накрест лежащие углы равны, то по первому признаку параллельности прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны.

Ответ: На основании равенства накрест лежащих углов (которое следует из условия) и первого признака параллельности, прямые $a$ и $b$ параллельны. Что и требовалось доказать.