Номер 18, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

18. Докажите теорему о сумме внутренних углов треугольника.

Теорема о сумме углов треугольника:Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Дано:$\triangle ABC$ — произвольный треугольник. Его внутренние углы — $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$.

Доказать:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Доказательство:

1. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведём прямую $DE$, параллельную противолежащей стороне $AC$. Это возможно согласно аксиоме о параллельных прямых.

2. Прямая $DE$ образует развёрнутый угол с вершиной в точке $B$, который равен $180^\circ$. Этот угол состоит из трёх углов: $\angle DBA$, $\angle ABC$ и $\angle CBE$.

Следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle DBA + \angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$. (1)

3. Рассмотрим параллельные прямые $DE$ и $AC$ и секущую $AB$. Углы $\angle DBA$ и $\angle BAC$ (угол $A$ треугольника) являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, такие углы равны:

$\angle DBA = \angle A$. (2)

4. Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $DE$ и $AC$, но с секущей $BC$. Углы $\angle CBE$ и $\angle BCA$ (угол $C$ треугольника) также являются внутренними накрест лежащими. Следовательно, они тоже равны:

$\angle CBE = \angle C$. (3)

5. Подставим равенства (2) и (3) в равенство (1). Заменим $\angle DBA$ на $\angle A$, и $\angle CBE$ на $\angle C$. Угол $\angle ABC$ — это и есть угол $B$ нашего треугольника.

Получаем:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Теорема доказана.

Ответ:Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$, что и требовалось доказать.