Номер 22, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

22. Что такое перпендикуляр, наклонная и ее проекция? Какими свойствами они обладают?

Что такое перпендикуляр, наклонная и ее проекция?

Для определения этих понятий рассмотрим точку A, не лежащую на прямой a (аналогичные определения применимы и для точки и плоскости).

Перпендикуляр – это отрезок, проведенный из точки A к прямой a и образующий с этой прямой прямой угол (90°). Если AH – перпендикуляр, то точка H лежит на прямой a, и выполняется условие $AH \perp a$. Точка H называется основанием перпендикуляра. Длина перпендикуляра является кратчайшим расстоянием от точки до прямой.

Наклонная – это любой отрезок, соединяющий точку A с какой-либо точкой M на прямой a, отличной от основания перпендикуляра H. Отрезок AM является наклонной. Точка M называется основанием наклонной.

Проекция наклонной – это отрезок, который соединяет основание перпендикуляра и основание наклонной. Для наклонной AM и перпендикуляра AH, проведенных из одной точки A, отрезком-проекцией будет HM.

Вместе перпендикуляр AH, наклонная AM и ее проекция HM образуют прямоугольный треугольник AHM, где угол H – прямой.

Ответ: Перпендикуляр – это отрезок, опущенный из точки на прямую под прямым углом. Наклонная – любой другой отрезок, соединяющий эту же точку с точкой на прямой. Проекция наклонной – это отрезок на прямой, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной.

Какими свойствами они обладают?

Основные свойства перпендикуляра, наклонной и ее проекции вытекают из свойств прямоугольного треугольника, который они образуют.

1. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной из той же точки к той же прямой. В треугольнике AHM, перпендикуляр AH является катетом, а наклонная AM – гипотенузой, поэтому $AH < AM$.

2. Из одной точки к прямой можно провести бесконечно много наклонных, но только один перпендикуляр.

3. Связь между длиной наклонной (l), длиной перпендикуляра (p) и длиной проекции (pr) устанавливается теоремой Пифагора: $l^2 = p^2 + pr^2$. Отсюда следует, что наклонная всегда длиннее и перпендикуляра, и своей проекции.

4. Сравнение наклонных и их проекций:

- Если из одной точки к прямой проведены две наклонные, то большей наклонной соответствует большая проекция, и наоборот. Если $AM_1 > AM_2$, то $HM_1 > HM_2$.

- Если наклонные равны ($AM_1 = AM_2$), то равны и их проекции ($HM_1 = HM_2$), и наоборот.

Ответ: Ключевые свойства: перпендикуляр короче любой наклонной; их длины связаны по теореме Пифагора ($l^2 = p^2 + pr^2$); из двух наклонных больше та, у которой больше проекция; равные наклонные имеют равные проекции.