Номер 19, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

19. Сформулируйте признаки равенства треугольников, докажите их.

Существует три основных признака равенства треугольников. Каждый из них предоставляет минимальный набор условий, при выполнении которых можно утверждать, что два треугольника равны (т.е. их можно совместить наложением).

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Формулировка: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

Пусть по условию $ AB = A_1B_1 $, $ AC = A_1C_1 $ и $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $.

Докажем, что $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Для доказательства используем метод наложения. Наложим треугольник $ \triangle A_1B_1C_1 $ на треугольник $ \triangle ABC $ так, чтобы вершина $ A_1 $ совпала с вершиной $ A $, а луч $ A_1B_1 $ совпал с лучом $ AB $. Поскольку $ \angle B_1A_1C_1 = \angle BAC $, то луч $ A_1C_1 $ совпадет с лучом $ AC $.

Поскольку $ AB = A_1B_1 $, то при наложении луча $ A_1B_1 $ на луч $ AB $ конец отрезка $ A_1B_1 $, вершина $ B_1 $, совпадет с концом отрезка $ AB $, вершиной $ B $.

Аналогично, поскольку $ AC = A_1C_1 $, то при наложении луча $ A_1C_1 $ на луч $ AC $ вершина $ C_1 $ совпадет с вершиной $ C $.

Таким образом, вершины $ A_1, B_1, C_1 $ совпали с вершинами $ A, B, C $ соответственно. Это означает, что два треугольника полностью совпали.

Следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Формулировка: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

Пусть по условию $ AB = A_1B_1 $, $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $ и $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $.

Докажем, что $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Наложим треугольник $ \triangle ABC $ на треугольник $ \triangle A_1B_1C_1 $ так, чтобы сторона $ AB $ совпала с равной ей стороной $ A_1B_1 $, при этом вершина $ A $ совпала с $ A_1 $, а вершина $ B $ – с $ B_1 $.

Так как $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $, то луч $ AC $ пойдет по лучу $ A_1C_1 $.

Так как $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $, то луч $ BC $ пойдет по лучу $ B_1C_1 $.

Вершина $ C $ является точкой пересечения лучей $ AC $ и $ BC $. Вершина $ C_1 $ является точкой пересечения лучей $ A_1C_1 $ и $ B_1C_1 $. Поскольку лучи $ AC $ и $ A_1C_1 $ совпали, а также лучи $ BC $ и $ B_1C_1 $ совпали, то их точки пересечения (вершины $ C $ и $ C_1 $) также должны совпасть.

Таким образом, все три вершины треугольника $ \triangle ABC $ совпали с соответствующими вершинами треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $. Следовательно, треугольники полностью совпали, а значит, они равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам)

Формулировка: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

Пусть по условию $ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $ и $ AC = A_1C_1 $.

Докажем, что $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Приложим треугольник $ \triangle A_1B_1C_1 $ к треугольнику $ \triangle ABC $ так, чтобы вершина $A_1$ совпала с $A$, вершина $B_1$ с $B$, а вершины $ C $ и $ C_1 $ оказались по разные стороны от прямой $ AB $.

Рассмотрим треугольник $ \triangle ACC_1 $. Он является равнобедренным, так как по условию и построению $ AC = A_1C_1 = AC_1 $. Следовательно, углы при основании равны: $ \angle ACC_1 = \angle AC_1C $.

Рассмотрим треугольник $ \triangle BCC_1 $. Он также является равнобедренным, так как $ BC = B_1C_1 = BC_1 $. Следовательно, углы при основании равны: $ \angle BCC_1 = \angle BC_1C $.

Отсюда следует, что $ \angle ACB = \angle ACC_1 + \angle BCC_1 $ и $ \angle AC_1B = \angle AC_1C + \angle BC_1C $. (Данное рассуждение применимо для случая, когда отрезок $CC_1$ пересекает отрезок $AB$; другие случаи расположения доказываются аналогично путем вычитания углов).

Так как $ \angle ACC_1 = \angle AC_1C $ и $ \angle BCC_1 = \angle BC_1C $, то $ \angle ACB = \angle AC_1B $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. У них $ AC = A_1C_1 $, $ BC = B_1C_1 $ (по условию) и угол между этими сторонами $ \angle ACB $ равен углу $ \angle A_1C_1B_1 $ (так как $ \angle A_1C_1B_1 $ совпадает с $ \angle AC_1B $). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.