Номер 5, страница 15, часть 2 - гдз по математике 3 класс рабочая тетрадь Петерсон

Урок 7. Решение задач. Часть 2 - номер 5, страница 15.

Условие.

5 Определи, что больше: сумма $C$ всех чисел, меньших или равных 100, или их произведение $P$? Ответ обоснуй.

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи необходимо сравнить сумму $С$ и произведение $P$ всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно.

1. Найдем сумму С

Сумма $С$ является суммой всех натуральных чисел от 1 до 100. Это арифметическая прогрессия. Для вычисления ее суммы можно использовать формулу:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — последний, а $n$ — количество членов.

В нашем случае $a_1 = 1$, $a_n = 100$ и $n = 100$. Подставим эти значения в формулу:

$С = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 101 \cdot 50 = 5050$.

Итак, сумма $С = 5050$.

2. Оценим произведение Р

Произведение $P$ — это результат умножения всех натуральных чисел от 1 до 100:

$P = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 100$ (что также известно как $100!$ — факториал ста).

3. Сравним С и Р и обоснуем ответ

Нам нужно сравнить $С = 5050$ и $P = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 100$.

Вычислять точное значение $P$ не требуется, так как оно является огромным числом. Вместо этого достаточно показать, что $P$ заведомо больше $С$.

Для обоснования рассмотрим произведение всего лишь нескольких первых чисел из последовательности:

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040$.

Это значение уже очень близко к сумме $С$. Если мы умножим его на следующий множитель, 8, то получим:

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 5040 \cdot 8 = 40320$.

Число $40320$ уже значительно больше, чем сумма $С = 5050$. А ведь полное произведение $P$ включает в себя умножение этого результата на все оставшиеся числа от 9 до 100. Очевидно, что итоговое значение $P$ будет намного больше, чем $С$.

Еще более простой способ — взять всего два множителя из произведения $P$, например, 51 и 100:

$51 \cdot 100 = 5100$.

Произведение только этих двух чисел ($5100$) уже больше, чем вся сумма $С$ ($5050$). Поскольку в полное произведение $P$ входят и другие множители, большие единицы ($2, 3, \dots, 50, 52, \dots, 99$), то $P$ будет несравненно больше $С$.

Ответ: произведение $P$ больше, чем сумма $С$.