Номер 12, страница 15, часть 3 - гдз по математике 3 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Урок 5. Формула пути. Часть 3 - номер 12, страница 15.

Условие 2024.

12* а) Расположи 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента.

б) Рассмотри все возможные варианты расположения 4 элементов в двух множествах.

Решение 2 (2024).

а) Чтобы расположить 4 элемента в двух множествах (назовем их M и K) так, чтобы в каждом было по 3 элемента, эти множества должны пересекаться. Количество элементов в объединении множеств равно 4. Мощность (количество элементов) каждого множества равна 3. Воспользуемся формулой включений-исключений для двух множеств:
$|M \cup K| = |M| + |K| - |M \cap K|$
Подставим известные значения:
$4 = 3 + 3 - |M \cap K|$
$4 = 6 - |M \cap K|$
$|M \cap K| = 6 - 4 = 2$
Это означает, что в пересечении множеств M и K должно находиться 2 элемента. Тогда в части множества M, не входящей в пересечение, будет $3 - 2 = 1$ элемент, и в части множества K, не входящей в пересечение, также будет $3 - 2 = 1$ элемент. Проверяем общее количество элементов: $1 + 1 + 2 = 4$.
Таким образом, для выполнения условия нужно 2 элемента поместить в общую часть (пересечение) множеств, 1 элемент — только в первое множество, и 1 элемент — только во второе множество.
Ответ: Нужно поместить 2 элемента в пересечение множеств, 1 элемент — в часть первого множества, не входящую в пересечение, и 1 элемент — в часть второго множества, не входящую в пересечение.

б) Рассмотрим два множества, M и K. Любой из 4 элементов может находиться в одной из трех областей: только в множестве M (область $M \setminus K$), только в множестве K (область $K \setminus M$) или в их пересечении (область $M \cap K$).
Пусть $n_1$ — количество элементов только в M, $n_2$ — количество элементов только в K, а $n_3$ — количество элементов в их пересечении. Общее количество элементов равно 4, следовательно, должно выполняться равенство:
$n_1 + n_2 + n_3 = 4$, где $n_1, n_2, n_3$ — целые неотрицательные числа.
Перечислим все возможные варианты распределения (тройки чисел $(n_1, n_2, n_3)$), сгруппировав их по количеству элементов в пересечении:
1. Если в пересечении 0 элементов ($n_3 = 0$): (4, 0, 0), (3, 1, 0), (2, 2, 0), (1, 3, 0), (0, 4, 0) — 5 вариантов.
2. Если в пересечении 1 элемент ($n_3 = 1$): (3, 0, 1), (2, 1, 1), (1, 2, 1), (0, 3, 1) — 4 варианта.
3. Если в пересечении 2 элемента ($n_3 = 2$): (2, 0, 2), (1, 1, 2), (0, 2, 2) — 3 варианта.
4. Если в пересечении 3 элемента ($n_3 = 3$): (1, 0, 3), (0, 1, 3) — 2 варианта.
5. Если в пересечении 4 элемента ($n_3 = 4$): (0, 0, 4) — 1 вариант.
Суммируя количество вариантов для каждого случая, получаем общее число возможных расположений: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.
Ответ: Существует 15 возможных вариантов расположения 4 элементов в двух множествах. Эти варианты соответствуют всем целочисленным неотрицательным решениям уравнения $n_1 + n_2 + n_3 = 4$, где $n_1$ — число элементов только в первом множестве, $n_2$ — только во втором, а $n_3$ — в их пересечении.

Условие 2020-2022.

в) Найди $A \cap B$ и $A \cup B$.

12* а) Расположи 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента.

б) Рассмотри все возможные варианты расположения 4 элементов в двух множествах.

Решение 2020-2022.