Магический квадрат, страница 66, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Моро, Бантова

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ:

Магический квадрат:

Магический квадрат представляет собой квадратную таблицу с числами, построенную так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в каждой диагонали равна одному и тому же числу (магическая сумма).

Поэтому рассуждаем так:

В последнем столбике можно найти сумму чисел 170 + 100 + 150 = 420. Значит сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в каждой диагонали будет равна 420.

Можно сначала узнать число во второй строчке. 420 − 140 − 100 = 180. Число 180 записываем во второй строке первого столбика.

Затем можно узнать число по диагонали. 420 − 170 − 140 = 110. Число 110 записываем в нижнюю строку первого столбика.

В первом столбике появились числа 180 и 110. Можем узнать третье число. 420 − 180 − 110 = 130. Число 130 записываем в первый столбик первой строки.

Теперь есть числа в первой строке 130 и 170. Найдём третье число. 420 - 130 − 170 = 120. Число 120 записываем во второй столбик первой строки.

Осталось число во втором столбике нижней строки. 420 − 120 − 140 = 160. Число 120 записываем во второй столбик нижней строки.

Квадрат заполнили полученными числами.

Магический квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях одинакова. Эта сумма называется магической константой.

1. Нахождение магической константы

Для начала определим магическую константу ($S$). В данном квадрате полностью заполнен правый столбец. Сложив числа в нем, мы найдем эту константу:
$S = 170 + 100 + 150 = 420$
Для магического квадрата размера 3x3 существует свойство: магическая константа в три раза больше числа, стоящего в центре. Проверим:
$S = 3 \times 140 = 420$
Оба способа дали одинаковый результат, значит, магическая константа равна 420.

2. Заполнение пустых ячеек

Зная, что сумма в каждой строке, столбце и диагонали равна 420, мы можем последовательно найти все недостающие числа.

• Ячейка в средней строке слева: Сумма чисел в средней строке должна быть 420.
  $x + 140 + 100 = 420$
  $x = 420 - 240 = 180$
• Ячейка в левом верхнем углу: Найдем ее, используя главную диагональ (сверху слева вниз вправо).
  $y + 140 + 150 = 420$
  $y = 420 - 290 = 130$
• Ячейка в верхней строке по центру: Теперь найдем число в верхней строке.
  $130 + z + 170 = 420$
  $z = 420 - 300 = 120$
• Ячейка в левом нижнем углу: Найдем ее с помощью левого столбца.
  $130 + 180 + w = 420$
  $w = 420 - 310 = 110$
• Ячейка в нижней строке по центру: Найдем последнее число с помощью нижней строки.
  $110 + v + 150 = 420$
  $v = 420 - 260 = 160$

Для проверки можно сложить числа на побочной диагонали (сверху справа вниз влево): $170 + 140 + 110 = 420$. Сумма верна.

В результате мы получаем полностью заполненный магический квадрат.

Ответ: