Номер 15, страница 15, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 5. Двойное неравенство. Часть 1 - номер 15, страница 15.

Условие.

15 Собрался Иван Царевич на бой со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым.

«Вот тебе меч-кладенец, — говорит ему Баба Яга. — Одним ударом ты можешь срубить Змею либо 1 голову, либо 2 головы, либо 1 хвост, либо 2 хвоста.

Запомни: срубишь голову — новая вырастет, срубишь хвост — 2 новых вырастут, срубишь 2 хвоста — голова вырастет, срубишь 2 головы — ничего не вырастет».

Сможет ли Иван-царевич срубить Змею все головы и все хвосты за 9 ударов? Обоснуй свой ответ.

Решение.

Решение 2.

Да, Иван-царевич сможет срубить Змею все головы и все хвосты за 9 ударов. Для этого ему нужна правильная последовательность действий. Обоснуем это математически и приведем пример такой последовательности.

Изначально у Змея 3 головы и 3 хвоста. Цель — 0 голов и 0 хвостов.

Рассмотрим, как каждый тип удара изменяет количество голов (Г) и хвостов (Х):

• Срубить 1 голову: количество голов не меняется ($\DeltaГ = -1+1=0$), количество хвостов не меняется. Этот удар бесполезен для победы.
• Срубить 2 головы: количество голов уменьшается на 2 ($\DeltaГ = -2$), количество хвостов не меняется.
• Срубить 1 хвост: количество хвостов увеличивается на 1 ($\DeltaХ = -1+2=1$), количество голов не меняется.
• Срубить 2 хвоста: количество хвостов уменьшается на 2 ($\DeltaХ = -2$), а количество голов увеличивается на 1 ($\DeltaГ = +1$).

Пусть $n_1, n_2, n_3, n_4$ — количество ударов каждого типа соответственно. Чтобы победить за 9 ударов, должны выполняться следующие условия:

1. Общее количество ударов: $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 9$.
2. Изменение количества голов: $-2n_2 + n_4 = -3$ (с 3 до 0).
3. Изменение количества хвостов: $n_3 - 2n_4 = -3$ (с 3 до 0).

Из второго уравнения получаем $n_4 = 2n_2 - 3$. Из третьего $n_3 = 2n_4 - 3$.

Подставим $n_4$ в уравнение для $n_3$: $n_3 = 2(2n_2 - 3) - 3 = 4n_2 - 6 - 3 = 4n_2 - 9$.

Поскольку количество ударов не может быть отрицательным ($n_3 \ge 0$), то $4n_2 - 9 \ge 0$, откуда $n_2 \ge 9/4$, то есть $n_2 \ge 2.25$. Так как $n_2$ — целое число, минимальное возможное значение для $n_2$ это 3.

Возьмем $n_2 = 3$. Тогда:

• $n_4 = 2 \cdot 3 - 3 = 3$
• $n_3 = 4 \cdot 3 - 9 = 3$

Теперь подставим найденные значения в первое уравнение, чтобы найти $n_1$:

$n_1 + 3 + 3 + 3 = 9 \implies n_1 = 0$.

Таким образом, для победы нужно нанести 3 удара типа «срубить 2 головы», 3 удара «срубить 1 хвост» и 3 удара «срубить 2 хвоста». Бесполезные удары «срубить 1 голову» не используются.

Осталось показать, что такая последовательность ударов возможна (т.е. на каждом шаге у Змея будет достаточно голов или хвостов для удара). Вот один из возможных вариантов:

1. Удар 1 (срубить 1 хвост): У Змея 3 головы и 4 хвоста.
2. Удар 2 (срубить 1 хвост): У Змея 3 головы и 5 хвостов.
3. Удар 3 (срубить 1 хвост): У Змея 3 головы и 6 хвостов.
4. Удар 4 (срубить 2 хвоста): У Змея 4 головы и 4 хвоста.
5. Удар 5 (срубить 2 хвоста): У Змея 5 голов и 2 хвоста.
6. Удар 6 (срубить 2 хвоста): У Змея 6 голов и 0 хвостов.
7. Удар 7 (срубить 2 головы): У Змея 4 головы и 0 хвостов.
8. Удар 8 (срубить 2 головы): У Змея 2 головы и 0 хвостов.
9. Удар 9 (срубить 2 головы): У Змея 0 голов и 0 хвостов.

Победа! Иван-царевич справился с задачей за 9 ударов.

Ответ: Да, сможет. Существует последовательность ударов, которая позволяет победить Змея за 9 ударов. Например, можно сначала 3 раза срубить по одному хвосту, чтобы их стало больше, затем 3 раза срубить по два хвоста, а оставшиеся 6 голов срубить тремя ударами по две головы.