Номер 4, страница 79, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 20. График движения. Часть 3 - номер 4, страница 79.

Условие.

4 Между пунктами A и B по шоссе $70 \text{ км}$. В $8 \text{ ч}$ утра из пункта A по направлению к B выехал велосипедист со скоростью $20 \text{ км/ч}$. Через $2 \text{ ч}$ после выезда он отдыхал $1 \text{ ч}$, а затем продолжил путь с той же скоростью. В $10 \text{ ч}$ из пункта A по той же дороге вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью $30 \text{ км/ч}$. Через $1 \text{ ч}$ пути он сделал остановку на $15 \text{ мин}$, а затем увеличил скорость до $40 \text{ км/ч}$.

Построй графики движения велосипедиста и мотоциклиста ($1 \text{ кл.} — 15 \text{ мин}$, $1 \text{ кл.} — 5 \text{ км}$). Определи время и место их встречи.

Какие ещё вопросы можно задать по графикам движения велосипедиста и мотоциклиста?

Решение.

Решение 2.

Построй графики движения велосипедиста и мотоциклиста (1 кл. — 15 мин, 1 кл. — 5 км).

Для построения графиков движения примем за ось абсцисс (горизонтальную) время $t$ в часах, а за ось ординат (вертикальную) — расстояние $S$ от пункта А в километрах.

Масштаб:

По оси времени: 1 клетка = 15 минут, значит 1 час = 4 клетки.

По оси расстояния: 1 клетка = 5 км.

График движения велосипедиста (ломаная линия, соединяющая точки):

1. Велосипедист выезжает в 8:00 из пункта А. Начальная точка графика — (8:00; 0 км).

2. Он едет 2 часа со скоростью 20 км/ч. За это время он проедет $20 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 40 \text{ км}$. В 10:00 он будет на расстоянии 40 км от А. Вторая точка — (10:00; 40 км).

3. Затем он отдыхает 1 час (с 10:00 до 11:00). В это время его расстояние от А не меняется. Третья точка — (11:00; 40 км). Этот отрезок графика будет горизонтальным.

4. После отдыха он продолжает движение с той же скоростью 20 км/ч. Например, к 12:00 он проедет еще 20 км и будет на расстоянии 60 км от А. Четвертая точка — (12:00; 60 км).

График движения мотоциклиста (ломаная линия, соединяющая точки):

1. Мотоциклист выезжает в 10:00 из пункта А. Начальная точка графика — (10:00; 0 км).

2. Он едет 1 час со скоростью 30 км/ч. За это время он проедет $30 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 30 \text{ км}$. В 11:00 он будет на расстоянии 30 км от А. Вторая точка — (11:00; 30 км).

3. Затем он делает остановку на 15 минут (с 11:00 до 11:15). Его расстояние от А не меняется. Третья точка — (11:15; 30 км). Этот отрезок графика также будет горизонтальным.

4. После остановки он увеличивает скорость до 40 км/ч. Например, за следующие 45 минут (до 12:00) он проедет $40 \text{ км/ч} \times 0.75 \text{ ч} = 30 \text{ км}$. Его положение в 12:00 будет $30 \text{ км} + 30 \text{ км} = 60 \text{ км}$ от А. Четвертая точка — (12:00; 60 км).

Графики будут представлять собой две ломаные линии. Точка пересечения этих линий и будет местом и временем их встречи.

Ответ: Графики построены по указанным точкам.

Определи время и место их встречи.

Время и место встречи можно определить по точке пересечения графиков движения. Как видно из расчетов для построения графиков, в 12:00 и велосипедист, и мотоциклист находились на расстоянии 60 км от пункта А. Это и есть точка их встречи.

Проверим это аналитически. Найдем момент времени $t$ (в часах, отсчитывая от 11:15), когда их расстояния от пункта А станут равны. Пусть $t$ — время движения после 11:15.

Положение велосипедиста в 11:15: он находится на 40 км от А и едет со скоростью 20 км/ч. Его координата через время $t$ после 11:15 будет: $S_в(t) = 40 + 20 \times t$.

Положение мотоциклиста в 11:15: он находится на 30 км от А и начинает ехать со скоростью 40 км/ч. Его координата через время $t$ после 11:15 будет: $S_м(t) = 30 + 40 \times t$.

Приравняем их координаты, чтобы найти время встречи:

$40 + 20t = 30 + 40t$

$40 - 30 = 40t - 20t$

$10 = 20t$

$t = \frac{10}{20} = 0.5$ часа.

0.5 часа — это 30 минут. Значит, встреча произойдет через 30 минут после 11:15, то есть в 11:45.

Проверим расчет. В моих первоначальных расчетах для графика была ошибка. Давайте пересчитаем положение велосипедиста в 11:15. С 11:00 до 11:15 (15 минут или 0.25 часа) он проехал $20 \text{ км/ч} \times 0.25 \text{ ч} = 5 \text{ км}$. Его положение в 11:15: $40 + 5 = 45$ км. Тогда уравнение для велосипедиста: $S_в(t) = 45 + 20 \times t$.

Приравняем снова:

$45 + 20t = 30 + 40t$

$15 = 20t$

$t = \frac{15}{20} = 0.75$ часа.

0.75 часа — это 45 минут. Значит, встреча произойдет через 45 минут после 11:15, то есть в 12:00.

Теперь найдем место встречи, подставив $t = 0.75$ в любое из уравнений:

$S_м = 30 + 40 \times 0.75 = 30 + 30 = 60$ км.

$S_в = 45 + 20 \times 0.75 = 45 + 15 = 60$ км.

Оба расчета сходятся. Встреча произошла в 12:00 на расстоянии 60 км от пункта А.

Ответ: Они встретятся в 12:00 на расстоянии 60 км от пункта А.

Какие ещё вопросы можно задать по графикам движения велосипедиста и мотоциклиста?

По построенным графикам можно задать следующие вопросы:

1. Кто прибудет в пункт В (на 70 км) раньше и на сколько?

2. Какое расстояние было между велосипедистом и мотоциклистом в 11:00?

3. В какой промежуток времени расстояние между ними сокращалось быстрее всего?

4. Какова была средняя скорость каждого из них на всем пути от А до В?

5. На сколько минут мотоциклист догнал бы велосипедиста раньше, если бы не делал остановку?

Ответ: Приведены примеры возможных вопросов.