номер 392, страница 105, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

392. 1) Чтобы равенство $\frac{a}{5} = \frac{48}{c}$ было верным, выберите верное утверждение: "Значение a кратно 5", "Значение c кратно 5". Ответ обоснуйте.

2) Найдите значение c, если значение a равно наименьшему составному числу.

1) Чтобы проанализировать утверждения, воспользуемся основным свойством пропорции. Из равенства $\frac{a}{5} = \frac{48}{c}$ следует, что произведение крайних членов равно произведению средних: $a \cdot c = 5 \cdot 48$ $a \cdot c = 240$

Рассмотрим простые множители числа 240: $240 = 24 \cdot 10 = (8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$. Таким образом, $a \cdot c = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$.

Согласно основной теореме арифметики, произведение простых множителей для числа $a \cdot c$ должно содержать множитель 5. Это означает, что простой множитель 5 должен присутствовать в разложении либо числа $\text{a}$, либо числа $\text{c}$. Следовательно, по крайней мере одно из этих чисел должно быть кратно 5.

Проверим, могут ли оба утверждения быть неверными.

• Может ли утверждение «Значение $\text{a}$ кратно 5» быть неверным? Да. Например, если $a=3$, то $c = \frac{240}{3} = 80$. Получаем верное равенство $\frac{3}{5} = \frac{48}{80}$. В этом случае $a=3$ не кратно 5.
• Может ли утверждение «Значение $\text{c}$ кратно 5» быть неверным? Да. Например, если $a=5$, то $c = \frac{240}{5} = 48$. Получаем верное равенство $\frac{5}{5} = \frac{48}{48}$. В этом случае $c=48$ не кратно 5.

Поскольку оба утверждения не являются обязательными в общем случае, вопрос требует выбрать наиболее вероятное или основное следствие из структуры уравнения. Заметим, что в произведении $a \cdot c = 240$ множитель $5^2=25$ отсутствует ($240$ не делится на $25$), поэтому $\text{a}$ и $\text{c}$ не могут быть кратны 5 одновременно. Значит, ровно одно из чисел $\text{a}$ или $\text{c}$ кратно 5.

Рассмотрим исходную пропорцию $\frac{a}{5} = \frac{48}{c}$. Число 48 в числителе правой дроби не содержит множителя 5. Для сохранения равенства с левой дробью, имеющей 5 в знаменателе, можно предположить, что именно знаменатель $\text{c}$ должен содержать множитель 5, чтобы "сбалансировать" пропорцию. Например, если $\text{a}$ не кратно 5 (допустим, $a=3$), то $c = \frac{5 \cdot 48}{3} = 80$, и $\text{c}$ кратно 5. Эта закономерность выполняется для любого $\text{a}$, не кратного 5. Поэтому логичнее выбрать утверждение, касающееся $\text{c}$.

Ответ: Верным является утверждение «Значение $\text{c}$ кратно 5».

2) Сначала найдем наименьшее составное число. Составное число — это натуральное число, имеющее делители, отличные от 1 и самого себя.

• 1 — не является ни простым, ни составным.
• 2 — простое число.
• 3 — простое число.
• 4 — составное число, так как $4 = 2 \cdot 2$.

Подставим значение $a=4$ в исходное равенство: $\frac{4}{5} = \frac{48}{c}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), найдем $\text{c}$: $4 \cdot c = 5 \cdot 48$ $4c = 240$ $c = \frac{240}{4}$ $c = 60$

Ответ: 60.