номер 428, страница 113, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

428. Вычислите:

1) $\frac{25}{28} - \frac{2}{21};$

2) $\frac{41}{54} - \frac{35}{72};$

3) $\frac{20}{21} - \frac{3}{14};$

4) $\frac{40}{143} + \frac{39}{110};$

5) $\frac{43}{140} + \frac{41}{150};$

6) $\frac{73}{80} - \frac{37}{100}.$

1) $\frac{25}{28} - \frac{2}{21}$

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 28 и 21.

Разложим знаменатели на простые множители:

$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$

$21 = 3 \cdot 7$

НОК(28, 21) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.

Теперь приведем дроби к знаменателю 84. Для этого найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для первой дроби: $84 \div 28 = 3$.

Для второй дроби: $84 \div 21 = 4$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{25}{28} = \frac{25 \cdot 3}{28 \cdot 3} = \frac{75}{84}$

$\frac{2}{21} = \frac{2 \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{8}{84}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{75}{84} - \frac{8}{84} = \frac{75 - 8}{84} = \frac{67}{84}$

Число 67 простое, а 84 на 67 не делится, значит, дробь несократима.

Ответ: $\frac{67}{84}$

2) $\frac{41}{54} - \frac{35}{72}$

Найдем НОК знаменателей 54 и 72.

Разложим на простые множители:

$54 = 6 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3^2 = 2 \cdot 3^3$

$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$

НОК(54, 72) = $2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$.

Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $216 \div 54 = 4$.

Для второй дроби: $216 \div 72 = 3$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{41}{54} - \frac{35}{72} = \frac{41 \cdot 4}{54 \cdot 4} - \frac{35 \cdot 3}{72 \cdot 3} = \frac{164}{216} - \frac{105}{216} = \frac{164 - 105}{216} = \frac{59}{216}$

Число 59 простое, 216 на 59 не делится. Дробь несократима.

Ответ: $\frac{59}{216}$

3) $\frac{20}{21} - \frac{3}{14}$

Найдем НОК знаменателей 21 и 14.

Разложим на простые множители:

$21 = 3 \cdot 7$

$14 = 2 \cdot 7$

НОК(21, 14) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $42 \div 21 = 2$.

Для второй дроби: $42 \div 14 = 3$.

Выполним вычисления:

$\frac{20}{21} - \frac{3}{14} = \frac{20 \cdot 2}{21 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{40}{42} - \frac{9}{42} = \frac{40 - 9}{42} = \frac{31}{42}$

Число 31 простое, 42 на 31 не делится. Дробь несократима.

Ответ: $\frac{31}{42}$

4) $\frac{40}{143} + \frac{39}{110}$

Найдем НОК знаменателей 143 и 110.

Разложим на простые множители:

$143 = 11 \cdot 13$

$110 = 11 \cdot 10 = 2 \cdot 5 \cdot 11$

НОК(143, 110) = $2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13 = 1430$.

Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $1430 \div 143 = 10$.

Для второй дроби: $1430 \div 110 = 13$.

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$\frac{40}{143} + \frac{39}{110} = \frac{40 \cdot 10}{143 \cdot 10} + \frac{39 \cdot 13}{110 \cdot 13} = \frac{400}{1430} + \frac{507}{1430} = \frac{400 + 507}{1430} = \frac{907}{1430}$

Проверим, можно ли сократить дробь. Знаменатель 1430 делится на 2, 5, 11, 13. Числитель 907 на эти числа не делится, он является простым числом. Следовательно, дробь несократима.

Ответ: $\frac{907}{1430}$

5) $\frac{43}{140} + \frac{41}{150}$

Найдем НОК знаменателей 140 и 150.

Разложим на простые множители:

$140 = 14 \cdot 10 = 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$

$150 = 15 \cdot 10 = 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$

НОК(140, 150) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7 = 2100$.

Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $2100 \div 140 = 15$.

Для второй дроби: $2100 \div 150 = 14$.

Выполним вычисления:

$\frac{43}{140} + \frac{41}{150} = \frac{43 \cdot 15}{140 \cdot 15} + \frac{41 \cdot 14}{150 \cdot 14} = \frac{645}{2100} + \frac{574}{2100} = \frac{645 + 574}{2100} = \frac{1219}{2100}$

Знаменатель 2100 имеет простые делители 2, 3, 5, 7. Числитель 1219 на них не делится. Проверка показывает, что $1219 = 23 \cdot 53$. Так как у числителя и знаменателя нет общих множителей, дробь несократима.

Ответ: $\frac{1219}{2100}$

6) $\frac{73}{80} - \frac{37}{100}$

Найдем НОК знаменателей 80 и 100.

Разложим на простые множители:

$80 = 8 \cdot 10 = 2^3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$

$100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$

НОК(80, 100) = $2^4 \cdot 5^2 = 16 \cdot 25 = 400$.

Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $400 \div 80 = 5$.

Для второй дроби: $400 \div 100 = 4$.

Выполним вычисления:

$\frac{73}{80} - \frac{37}{100} = \frac{73 \cdot 5}{80 \cdot 5} - \frac{37 \cdot 4}{100 \cdot 4} = \frac{365}{400} - \frac{148}{400} = \frac{365 - 148}{400} = \frac{217}{400}$

Проверим, можно ли сократить дробь. Простые множители знаменателя 400 - это 2 и 5. Числитель 217 - нечетное число и не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 2 и 5 не делится. Значит, дробь несократима.

Ответ: $\frac{217}{400}$