номер 806, страница 87, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

806. 1) Из 9 чисел 7 являются простыми числами, одно простое четное число. Сколько из этих 9 чисел четных?

2) Из 30 чисел 25 являются простыми числами, 20 — нечетными. Сколько из этих чисел простых нечетных?

3) Из 50 сотрудников 40 человек владеют казахским языком, 20 — английским, 10 — турецким, 15 — казахским и английским языками, 5 — казахским и турецким, 5 — английским и турецким. Сколько сотрудников владеет тремя языками — казахским, английским и турецким?

1) В задаче дано 9 чисел. Нам известны два факта об этих числах:

1. 7 из них являются простыми.

2. Среди них есть "одно простое четное число".

Единственное простое и одновременно четное число — это 2.

Фраза "одно простое четное число" в контексте такой логической задачи чаще всего означает, что в данном наборе из 9 чисел есть только одно четное число, и это число также является простым.

Давайте проверим, не противоречит ли это другим условиям.

Если в наборе всего одно четное число (это число 2), то остальные $9 - 1 = 8$ чисел являются нечетными.

По условию, в наборе 7 простых чисел. Одно из них — это 2. Значит, остальные $7 - 1 = 6$ простых чисел должны быть нечетными. Это возможно, так как у нас есть 8 нечетных чисел, среди которых могут быть 6 простых (например, 3, 5, 7, 11, 13, 17).

Оставшиеся $9 - 7 = 2$ числа в наборе не являются простыми. В нашей интерпретации эти два числа должны быть нечетными (например, 9 и 15).

Таким образом, все условия задачи выполняются, если предположить, что в наборе ровно одно четное число.

Ответ: 1.

2) Для решения этой задачи воспользуемся методом анализа множеств.

Пусть $\text{S}$ — множество всех 30 чисел, $\text{P}$ — подмножество простых чисел, $\text{O}$ — подмножество нечетных чисел. Нам нужно найти количество простых нечетных чисел, то есть мощность пересечения множеств $\text{P}$ и $\text{O}$, обозначаемую как $|P \cap O|$.

Дано:

- Общее количество чисел $|S| = 30$.

- Количество простых чисел $|P| = 25$.

- Количество нечетных чисел $|O| = 20$.

Из этого следует, что количество четных чисел $|E| = |S| - |O| = 30 - 20 = 10$.

Воспользуемся формулой включений-исключений: $|P \cup O| = |P| + |O| - |P \cap O|$.

Количество чисел, которые являются простыми или нечетными ($|P \cup O|$), не может превышать общего количества чисел, то есть $|P \cup O| \le 30$.

Подставим известные значения в формулу:

$|P \cup O| = 25 + 20 - |P \cap O| = 45 - |P \cap O|$.

Так как $|P \cup O| \le 30$, получаем неравенство:

$45 - |P \cap O| \le 30$.

Отсюда находим нижнюю границу для искомой величины:

$|P \cap O| \ge 45 - 30 = 15$.

Итак, количество простых нечетных чисел не может быть меньше 15.

В таких задачах, если не указано иное, часто предполагается, что нет элементов, не входящих ни в одно из упомянутых множеств (кроме общего), если это приводит к единственному решению. В нашем случае это означает, что все числа являются либо простыми, либо нечетными. То есть, $|P \cup O| = 30$. Это эквивалентно предположению, что в наборе нет чисел, которые являются одновременно и непростыми, и четными.

Примем $|P \cup O| = 30$ и найдем точное значение:

$30 = 45 - |P \cap O|$.

$|P \cap O| = 45 - 30 = 15$.

Таким образом, в наборе 15 простых нечетных чисел. (Это также подразумевает, что в наборе 10 четных простых чисел, что возможно, если числа могут повторяться, т.е. число 2 встречается 10 раз).

Ответ: 15.

3) Это задача на применение принципа включений-исключений для трех множеств.

Пусть $К$ — множество сотрудников, владеющих казахским языком, $А$ — английским, $Т$ — турецким.

Нам даны следующие данные:

- Всего сотрудников: 50.

- $|К| = 40$.

- $|А| = 20$.

- $|Т| = 10$.

- $|К \cap А| = 15$ (владеют казахским и английским).

- $|К \cap Т| = 5$ (владеют казахским и турецким).

- $|А \cap Т| = 5$ (владеют английским и турецким).

Нам нужно найти $|К \cap А \cap Т|$ — количество сотрудников, владеющих тремя языками.

Формула включений-исключений для трех множеств:

$|К \cup А \cup Т| = |К| + |А| + |Т| - (|К \cap А| + |К \cap Т| + |А \cap Т|) + |К \cap А \cap Т|$.

Здесь $|К \cup А \cup Т|$ — это количество сотрудников, владеющих хотя бы одним из трех языков. Поскольку общее число сотрудников равно 50, мы можем предположить, что все 50 сотрудников владеют хотя бы одним языком, то есть $|К \cup А \cup Т| = 50$. (Если бы кто-то не владел ни одним, общее число говорящих было бы меньше 50).

Подставим известные значения в формулу:

$50 = 40 + 20 + 10 - (15 + 5 + 5) + |К \cap А \cap Т|$.

$50 = 70 - 25 + |К \cap А \cap Т|$.

$50 = 45 + |К \cap А \cap Т|$.

Из этого уравнения находим искомую величину:

$|К \cap А \cap Т| = 50 - 45 = 5$.

Следовательно, 5 сотрудников владеют тремя языками.

Ответ: 5.