номер 804, страница 87, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

804. Несколько учащихся занимаются на детских тренажерах: “Наездник”, “Гребля”, “Беговая дорожка”, “Бегущие по волнам”, “Скамья со штангой”.

1) Сколько учащихся занимаются на тренажерах “Беговая дорожка”, “Бегущие по волнам”, если на “Беговой дорожке” упражняются 15 детей, на “Бегущих по волнам” — 12, а на этих двух тренажерах — 7 учащихся?

2) Из 12 учеников 7 занимаются на тренажере “Наездник”, 8 — на тренажере “Гребля”. Сколько учащихся занимаются на двух тренажерах?

3) Из 20 учащихся 14 занимаются на тренажере “Скамья со штангой”; 5 детей — на двух тренажерах: “Скамья со штангой” и “Наездник”. Сколько учащихся занимаются на тренажере “Наездник”?

4) Из 15 учащихся 6 занимаются на тренажере “Беговая дорожка”, 5 — на двух тренажерах: “Беговая дорожка” и “Гребля”. Сколько учащихся занимаются только на тренажере “Гребля”?

1) Чтобы найти общее число учащихся, занимающихся на этих двух тренажерах, нужно сложить количество учащихся на каждом тренажере и вычесть количество тех, кто занимается на обоих (так как их посчитали дважды). Используем формулу включений-исключений для двух множеств: $N(A \cup B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B)$.

Подставим данные из условия: на «Беговой дорожке» — 15, на «Бегущих по волнам» — 12, на обоих — 7.

Расчет: $15 + 12 - 7 = 27 - 7 = 20$ учащихся.

Ответ: 20

2) Пусть $N_Н$ — количество учеников на тренажере «Наездник», $N_Г$ — на тренажере «Гребля», а $N_{Н \cap Г}$ — на обоих. Общее число учеников, занимающихся хотя бы на одном из этих тренажеров, равно $N_{Н \cup Г} = 12$. По формуле включений-исключений: $N_{Н \cup Г} = N_Н + N_Г - N_{Н \cap Г}$.

Чтобы найти количество учащихся, занимающихся на двух тренажерах одновременно, нужно из суммы занимающихся на каждом тренажере по отдельности вычесть общее количество учеников.

$N_{Н \cap Г} = N_Н + N_Г - N_{Н \cup Г}$

Подставим значения: $7 + 8 - 12 = 15 - 12 = 3$ учащихся.

Ответ: 3

3) Пусть $N_С$ — количество учеников на «Скамье со штангой», $N_Н$ — на «Наезднике». Общее число учеников $N_{С \cup Н} = 20$. Нам известно, что $N_С = 14$ и количество занимающихся на обоих тренажерах $N_{С \cap Н} = 5$.

Используем формулу: $N_{С \cup Н} = N_С + N_Н - N_{С \cap Н}$.

Выразим из формулы количество учеников на тренажере «Наездник»: $N_Н = N_{С \cup Н} - N_С + N_{С \cap Н}$.

Подставим значения: $20 - 14 + 5 = 6 + 5 = 11$ учащихся.

Ответ: 11

4) Пусть $N_Д$ — количество учеников на «Беговой дорожке», $N_Г$ — на «Гребле». Общее число учеников $N_{Д \cup Г} = 15$. Нам известно, что $N_Д = 6$ и количество занимающихся на обоих тренажерах $N_{Д \cap Г} = 5$.

Сначала найдем общее количество учеников, занимающихся на тренажере «Гребля» ($N_Г$), используя формулу $N_{Д \cup Г} = N_Д + N_Г - N_{Д \cap Г}$.

Выразим $N_Г$: $N_Г = N_{Д \cup Г} - N_Д + N_{Д \cap Г}$.

Подставим значения: $N_Г = 15 - 6 + 5 = 14$ учащихся.

Это общее число занимающихся на «Гребле». Чтобы найти тех, кто занимается только на «Гребле», нужно из этого числа вычесть тех, кто занимается на обоих тренажерах.

Количество занимающихся только на «Гребле» = $N_Г - N_{Д \cap Г} = 14 - 5 = 9$ учащихся.

Ответ: 9