номер 805, страница 87, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

805. 1) Сколько всего букетов, если 7 из них с тюльпанами, 9 — с нарциссами, 3 — с тюльпанами и нарциссами?

2) 42 учащихся приняли участие в олимпиаде по математике, 37 — по русскому языку, 19 — по двум предметам. Сколько всего учащихся участвовали в олимпиадах по этим предметам?

1)

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений. Пусть $\text{T}$ — это множество букетов с тюльпанами, а $\text{N}$ — множество букетов с нарциссами.

По условию нам известно:

- количество букетов с тюльпанами: $|T| = 7$;

- количество букетов с нарциссами: $|N| = 9$;

- количество букетов, содержащих и тюльпаны, и нарциссы (то есть пересечение множеств): $|T \cap N| = 3$.

Чтобы найти общее количество букетов, нужно найти мощность объединения этих множеств, $|T \cup N|$. Формула для объединения двух множеств:

$|T \cup N| = |T| + |N| - |T \cap N|$

Подставим данные значения в формулу:

$|T \cup N| = 7 + 9 - 3 = 16 - 3 = 13$

Также можно посчитать по-другому:

1. Найдём количество букетов, в которых есть только тюльпаны: $7 - 3 = 4$.

2. Найдём количество букетов, в которых есть только нарциссы: $9 - 3 = 6$.

3. Общее количество букетов равно сумме букетов с только тюльпанами, только нарциссами и с обоими видами цветов: $4 + 6 + 3 = 13$.

Ответ: 13 букетов.

2)

Эта задача решается аналогично первой с помощью формулы включений-исключений. Пусть $\text{M}$ — множество учащихся, принявших участие в олимпиаде по математике, а $\text{R}$ — множество учащихся, принявших участие в олимпиаде по русскому языку.

Из условия задачи мы знаем:

- количество участников олимпиады по математике: $|M| = 42$;

- количество участников олимпиады по русскому языку: $|R| = 37$;

- количество участников, которые участвовали в обеих олимпиадах: $|M \cap R| = 19$.

Общее количество учащихся, участвовавших в олимпиадах, — это количество элементов в объединении множеств $\text{M}$ и $\text{R}$, то есть $|M \cup R|$. Применим формулу:

$|M \cup R| = |M| + |R| - |M \cap R|$

Подставим числовые значения:

$|M \cup R| = 42 + 37 - 19 = 79 - 19 = 60$

Альтернативный способ:

1. Количество учащихся, участвовавших только в олимпиаде по математике: $42 - 19 = 23$.

2. Количество учащихся, участвовавших только в олимпиаде по русскому языку: $37 - 19 = 18$.

3. Общее количество участников равно сумме тех, кто участвовал только в одной олимпиаде, и тех, кто участвовал в обеих: $23 + 18 + 19 = 60$.

Ответ: 60 учащихся.