Вопросы, страница 85, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Сколько элементов содержит множество $\text{A}$; множество $\text{B}$; пересечение множеств $A \cap B$; объединение множеств $A \cup B$?

2. Почему для нахождения числа элементов в объединении множеств $A \cup B$ надо сложить число элементов множества $\text{A}$ и множества $\text{B}$ и вычесть число элементов пересечения множеств $A \cap B: 6 + 4 - 2 = 8$ (рис. 66)?

1. Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к данным, указанным во втором пункте задачи. Число элементов (мощность) множества $\text{M}$ обозначается как $|M|$. Из формулы $6 + 4 - 2 = 8$, которая иллюстрирует принцип включения-исключения $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$, можно сделать следующие выводы:

- множество А содержит 6 элементов. То есть, $|A| = 6$.

- множество В содержит 4 элемента. То есть, $|B| = 4$.

- пересечение множеств $A \cap B$ (элементы, принадлежащие одновременно и A, и B) содержит 2 элемента. То есть, $|A \cap B| = 2$.

- объединение множеств $A \cup B$ (элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств) содержит 8 элементов, что является результатом вычисления: $6 + 4 - 2 = 8$. То есть, $|A \cup B| = 8$.

Ответ: множество A содержит 6 элементов; множество B содержит 4 элемента; пересечение множеств $A \cap B$ содержит 2 элемента; объединение множеств $A \cup B$ содержит 8 элементов.

2. Это правило известно как принцип включения-исключения для двух множеств. Формула для нахождения числа элементов в объединении двух множеств $\text{A}$ и $\text{B}$ выглядит так: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.

Объяснение этой формулы заключается в следующем. Когда мы складываем число элементов множества A ($|A|$) и число элементов множества B ($|B|$), мы учитываем все элементы, которые находятся в A, и все элементы, которые находятся в B.

Проблема в том, что элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно (то есть, находятся в их пересечении, $A \cap B$), при таком сложении подсчитываются дважды: один раз как часть множества A и второй раз как часть множества B. В рассматриваемом примере таких общих элементов 2.

Однако в объединении множеств $A \cup B$ каждый элемент должен быть учтён только один раз, независимо от того, скольким множествам он принадлежит. Чтобы исправить двойной подсчёт общих элементов, необходимо из суммы $|A| + |B|$ вычесть количество этих общих элементов, то есть вычесть число элементов в их пересечении $|A \cap B|$.

Именно поэтому для нахождения числа элементов в объединении множеств A и B используется формула: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$. В данном случае: $8 = 6 + 4 - 2$.

Ответ: При простом сложении числа элементов множеств A и B ($|A| + |B|$) элементы, принадлежащие обоим множествам (элементы пересечения $A \cap B$), учитываются дважды. Чтобы получить правильное число элементов в объединении, где каждый элемент считается один раз, необходимо вычесть число этих дважды посчитанных элементов, то есть вычесть число элементов пересечения.