номер 975, страница 153, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

975. Чтобы добраться из пункта $А$ в пункт $В$ через пункт $С$ самолетом, понадобится 3 ч. Этот же путь на поезде можно преодолеть только за 27 ч. Через какое время окажутся в пункте $С$ самолет и поезд, если они начнут движение одновременно навстречу друг другу и одновременно прибудут в пункт $С$? Ответьте на вопрос задачи, если самолету понадобится:

1) 4 ч, поезду — 36 ч;

2) 5 ч, поезду — 45 ч;

3) 6 ч, поезду — 54 ч;

4) 7 ч, поезду — 63 ч.

Для решения этой задачи необходимо найти время, через которое самолет и поезд встретятся в пункте С. Это классическая задача на совместное движение навстречу друг другу.

Пусть $\text{S}$ - общее расстояние от пункта А до пункта В.

Пусть $t_{с}$ - время, за которое самолет пролетает весь путь от А до В.

Пусть $t_{п}$ - время, за которое поезд проходит весь путь от А до В.

Скорость самолета ($v_{с}$) и скорость поезда ($v_{п}$) можно выразить как:

$v_{с} = \frac{S}{t_{с}}$

$v_{п} = \frac{S}{t_{п}}$

Самолет и поезд движутся навстречу друг другу из пунктов А и В соответственно. Они встречаются в пункте С. Пусть $\text{t}$ - время, которое они были в пути до встречи. Это искомое время.

За время $\text{t}$ самолет пролетит расстояние $S_{АС} = v_{с} \cdot t$.

За это же время $\text{t}$ поезд проедет расстояние $S_{ВС} = v_{п} \cdot t$.

Сумма расстояний, пройденных самолетом и поездом до встречи, равна общему расстоянию $\text{S}$:

$S_{АС} + S_{ВС} = S$

$(v_{с} \cdot t) + (v_{п} \cdot t) = S$

Вынесем $\text{t}$ за скобки:

$t \cdot (v_{с} + v_{п}) = S$

Теперь подставим выражения для скоростей через $\text{S}$, $t_{с}$ и $t_{п}$:

$t \cdot (\frac{S}{t_{с}} + \frac{S}{t_{п}}) = S$

Поскольку расстояние $\text{S}$ не равно нулю, мы можем сократить его, разделив обе части уравнения на $\text{S}$:

$t \cdot (\frac{1}{t_{с}} + \frac{1}{t_{п}}) = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$t \cdot (\frac{t_{п} + t_{с}}{t_{с} \cdot t_{п}}) = 1$

Отсюда выражаем искомое время $\text{t}$:

$t = \frac{t_{с} \cdot t_{п}}{t_{с} + t_{п}}$

Эту общую формулу будем использовать для решения всех подпунктов задачи.

1) самолету понадобится: 4 ч, поезду — 36 ч;

Подставляем в формулу $t_{с} = 4$ и $t_{п} = 36$:

$t = \frac{4 \cdot 36}{4 + 36} = \frac{144}{40} = 3.6$ ч.

Ответ: 3.6 ч.

2) самолету понадобится: 5 ч, поезду — 45 ч;

Подставляем в формулу $t_{с} = 5$ и $t_{п} = 45$:

$t = \frac{5 \cdot 45}{5 + 45} = \frac{225}{50} = 4.5$ ч.

Ответ: 4.5 ч.

3) самолету понадобится: 6 ч, поезду — 54 ч;

Подставляем в формулу $t_{с} = 6$ и $t_{п} = 54$:

$t = \frac{6 \cdot 54}{6 + 54} = \frac{324}{60} = 5.4$ ч.

Ответ: 5.4 ч.

4) самолету понадобится: 7 ч, поезду — 63 ч.

Подставляем в формулу $t_{с} = 7$ и $t_{п} = 63$:

$t = \frac{7 \cdot 63}{7 + 63} = \frac{441}{70} = 6.3$ ч.

Ответ: 6.3 ч.