номер 3, страница 46, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Какие десятичные дроби могут получиться в результате перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь?

При переводе обыкновенной дроби в десятичную, то есть при выполнении операции деления числителя на знаменатель, могут получиться десятичные дроби двух видов.

1. Конечные десятичные дроби

Конечная десятичная дробь получается в том случае, если знаменатель несократимой обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$ после разложения на простые множители содержит только множители 2 и 5. То есть, знаменатель $\text{n}$ имеет вид $n = 2^a \cdot 5^b$, где $\text{a}$ и $\text{b}$ — целые неотрицательные числа. В этом случае деление числителя на знаменатель заканчивается, и дробь имеет конечное число знаков после запятой.

Примеры:

• $\frac{3}{4} = 0.75$. Знаменатель $4=2^2$.

• $\frac{7}{20} = 0.35$. Знаменатель $20=2^2 \cdot 5$.

• $\frac{13}{50} = 0.26$. Знаменатель $50=2 \cdot 5^2$.

2. Бесконечные периодические десятичные дроби

Бесконечная периодическая десятичная дробь получается, если в разложении знаменателя несократимой обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$ присутствует хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5. В этом случае деление числителя на знаменатель является бесконечным, но остатки от деления циклически повторяются. Это приводит к тому, что в записи десятичной дроби бесконечно повторяется определённая группа цифр, называемая периодом.

Различают два вида периодических дробей:

• Чистые периодические дроби. Период начинается сразу после запятой. Это происходит, когда в разложении знаменателя отсутствуют множители 2 и 5.

  Примеры: $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$; $\frac{5}{11} = 0.4545... = 0.(45)$.

• Смешанные периодические дроби. Между запятой и периодом есть одна или несколько цифр, не входящих в период. Это происходит, когда в разложении знаменателя присутствуют как множители 2 и/или 5, так и другие простые множители.

  Примеры: $\frac{5}{6} = 0.8333... = 0.8(3)$ (знаменатель $6=2\cdot3$); $\frac{7}{12} = 0.58333... = 0.58(3)$ (знаменатель $12=2^2\cdot3$).

Таким образом, любая обыкновенная дробь (т.е. любое рациональное число) представляется в виде либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дроби.

Ответ: В результате перевода обыкновенной дроби в десятичную могут получиться только конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.