номер 4, страница 53, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Какая связь существует между делением на $10$; $100$; $1000$ и т. д. и умножением на $0,1$; $0,01$; $0,001$ и т. д.?

Связь между делением на числа 10, 100, 1000 и т. д. и умножением на десятичные дроби 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. заключается в том, что это эквивалентные операции. Деление на любое число (кроме нуля) — это то же самое, что и умножение на обратное ему число.

Рассмотрим эту связь на математических примерах. Десятичные дроби 0,1, 0,01, 0,001 можно представить в виде обыкновенных дробей:

• $0.1 = \frac{1}{10}$
• $0.01 = \frac{1}{100}$
• $0.001 = \frac{1}{1000}$

Как видно, дроби 0,1, 0,01, 0,001 являются обратными числами к 10, 100, 1000 соответственно.

Теперь рассмотрим, что происходит при выполнении этих операций с произвольным числом $\text{a}$.

Деление на 10 и умножение на 0,1

Умножение числа $\text{a}$ на 0,1 можно записать как умножение на $\frac{1}{10}$:

$a \times 0.1 = a \times \frac{1}{10} = \frac{a}{10}$

Выражение $\frac{a}{10}$ является результатом деления числа $\text{a}$ на 10. Следовательно, $a \div 10 = a \times 0.1$.

Например, $125 \div 10 = 12.5$ и $125 \times 0.1 = 12.5$.

Деление на 100 и умножение на 0,01

Аналогично, умножение числа $\text{a}$ на 0,01 — это то же самое, что умножение на $\frac{1}{100}$:

$a \times 0.01 = a \times \frac{1}{100} = \frac{a}{100}$

Это выражение равно результату деления числа $\text{a}$ на 100. Следовательно, $a \div 100 = a \times 0.01$.

Например, $125 \div 100 = 1.25$ и $125 \times 0.01 = 1.25$.

Общее правило

Эту закономерность можно обобщить. Деление на степень десяти, $10^n$ (где $\text{n}$ — натуральное число, т. е. для чисел 10, 100, 1000...), эквивалентно умножению на обратную ей десятичную дробь $10^{-n}$ (т. е. 0,1, 0,01, 0,001...).

$a \div 10^n = a \times \frac{1}{10^n} = a \times 10^{-n}$

Практически обе эти операции приводят к одному и тому же действию: переносу запятой в десятичной записи числа влево на $\text{n}$ знаков. Например, при делении на 1000 (3 нуля) или умножении на 0,001 (3 знака после запятой) запятая сдвигается на 3 позиции влево.

Ответ: Деление на число из ряда 10, 100, 1000 и т. д. даёт тот же самый результат, что и умножение на соответствующее число из ряда 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. Это две математически эквивалентные операции, поскольку числа 0,1, 0,01, 0,001 являются обратными числам 10, 100, 1000, а деление на число по определению равносильно умножению на обратное ему число.