номер 3, страница 53, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Какая связь существует между умножением на $10$; $100$; $1000$ и т. д. и делением на $0,1$; $0,01$; $0,001$ и т. д.?

Связь между умножением на числа 10, 100, 1000 и т.д. и делением на числа 0,1, 0,01, 0,001 и т.д. заключается в том, что это эквивалентные (равнозначные) операции. Выполнение любой из этих парных операций над числом приведет к абсолютно одинаковому результату.

Чтобы понять, почему это так, давайте рассмотрим математическую основу. Возьмем для примера пару чисел 10 и 0,1. Число 0,1 можно представить в виде обыкновенной дроби:

$0,1 = \frac{1}{10}$

Числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными. В нашем случае $10 \times 0,1 = 10 \times \frac{1}{10} = 1$. Таким образом, 10 и 0,1 — взаимно обратные числа. Аналогично:

$100$ и $0,01$ ($0,01 = \frac{1}{100}$) — взаимно обратные.

$1000$ и $0,001$ ($0,001 = \frac{1}{1000}$) — взаимно обратные.

Существует правило: деление на число равносильно умножению на обратное ему число. Обозначим произвольное число как $\text{a}$.

Рассмотрим деление на 0,1:

Разделить число $\text{a}$ на $0,1$ — это то же самое, что разделить $\text{a}$ на $\frac{1}{10}$.

$a : 0,1 = a : \frac{1}{10}$

По правилу деления на дробь, мы должны умножить $\text{a}$ на дробь, обратную $\frac{1}{10}$, то есть на $\frac{10}{1}$ (что равно 10).

$a : \frac{1}{10} = a \times \frac{10}{1} = a \times 10$

Как видим, деление на $0,1$ в точности равно умножению на $10$.

Аналогично для других пар:

$a : 0,01 = a : \frac{1}{100} = a \times 100$

$a : 0,001 = a : \frac{1}{1000} = a \times 1000$

Таким образом, связь заключается в том, что умножение на $10^n$ (где $\text{n}$ — натуральное число, т.е. 1, 2, 3...) и деление на $10^{-n}$ (т.е. 0,1, 0,01, 0,001...) являются одной и той же математической операцией.

Ответ: Умножение на 10, 100, 1000 и т.д. является математически эквивалентной операцией делению на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д. соответственно. Это происходит потому, что числа в каждой паре (например, 10 и 0,1) являются взаимно обратными, а деление на число равносильно умножению на обратное ему число.