Вопросы 2, страница 52, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Почему умножение на числа $0,1$; $0,01$; $0,001$ и т. д. можно заменить делением соответственно на числа $10$; $100$; $1000$ и т. д.? И, наоборот, деление на числа $0,1$; $0,01$; $0,001$ и т. д. можно заменить умножением соответственно на числа $10$; $100$; $1000$ и т. д.?

Почему умножение на числа 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. можно заменить делением соответственно на числа 10; 100; 1000 и т. д.?

Это правило объясняется тем, как десятичные дроби представляются в виде обыкновенных. Каждую из десятичных дробей 0,1; 0,01; 0,001 и так далее можно записать в виде обыкновенной дроби:

$0,1 = \frac{1}{10}$

$0,01 = \frac{1}{100}$

$0,001 = \frac{1}{1000}$

Когда мы умножаем любое число, обозначим его как $\text{a}$, на одну из этих десятичных дробей, мы по сути выполняем умножение на соответствующую обыкновенную дробь. Рассмотрим умножение на 0,1:

$a \times 0,1 = a \times \frac{1}{10}$

По правилу умножения числа на дробь, мы умножаем число на числитель дроби и делим на ее знаменатель:

$a \times \frac{1}{10} = \frac{a \times 1}{10} = \frac{a}{10}$

Выражение $\frac{a}{10}$ является записью операции деления числа $\text{a}$ на 10. Таким образом, умножение на 0,1 полностью эквивалентно делению на 10.

Аналогичные рассуждения верны и для других чисел:

$a \times 0,01 = a \times \frac{1}{100} = \frac{a}{100}$, что равносильно $a \div 100$.

$a \times 0,001 = a \times \frac{1}{1000} = \frac{a}{1000}$, что равносильно $a \div 1000$.

Ответ: Умножение на десятичную дробь вида $0,1$, $0,01$ и т.д. можно заменить делением на целое число ($10$, $100$ и т.д.), потому что эти десятичные дроби являются обратными величинами к соответствующим целым числам ($0,1 = \frac{1}{10}$), а умножение на дробь $\frac{1}{n}$ эквивалентно делению на $\text{n}$.

И, наоборот, деление на числа 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. можно заменить умножением соответственно на числа 10; 100; 1000 и т. д.?

Это утверждение также верно, и оно основано на правиле деления на дробь. Деление на любое число (кроме нуля) эквивалентно умножению на число, ему обратное. Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Найдем числа, обратные для 0,1; 0,01; 0,001:

Для $0,1$ (то есть $\frac{1}{10}$), обратным является $10$, так как $0,1 \times 10 = 1$.

Для $0,01$ (то есть $\frac{1}{100}$), обратным является $100$, так как $0,01 \times 100 = 1$.

Для $0,001$ (то есть $\frac{1}{1000}$), обратным является $1000$, так как $0,001 \times 1000 = 1$.

Теперь рассмотрим операцию деления на 0,1. Обозначим делимое как $\text{a}$.

$a \div 0,1$

Заменим 0,1 на обыкновенную дробь $\frac{1}{10}$:

$a \div \frac{1}{10}$

По правилу деления на дробь, нужно умножить делимое на дробь, обратную делителю. Дробь, обратная $\frac{1}{10}$, это $\frac{10}{1}$ или просто 10.

$a \div \frac{1}{10} = a \times \frac{10}{1} = a \times 10$

Следовательно, деление на 0,1 полностью эквивалентно умножению на 10.

То же самое справедливо и для других чисел:

$a \div 0,01 = a \div \frac{1}{100} = a \times 100$

$a \div 0,001 = a \div \frac{1}{1000} = a \times 1000$

Ответ: Деление на десятичную дробь вида $0,1$, $0,01$ и т.д. можно заменить умножением на целое число ($10$, $100$ и т.д.), потому что операция деления на число эквивалентна умножению на обратное ему число, а числа $10, 100, 1000$ являются обратными к $0,1, 0,01, 0,001$ соответственно.