номер 11, страница 7, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

11. Какие из следующих утверждений верные:

1) Для каждого натурального числа существует натуральное число, которое меньше его на $\text{1}$.

2) Старший разряд числа можно записать любой цифрой.

3) Для каждого натурального числа, кроме $\text{1}$, существует натуральное число, которое меньше его на $\text{1}$.

4) Старший разряд натурального числа записывается цифрой, отличной от $\text{0}$.

1) Для каждого натурального числа существует натуральное число, которое меньше его на 1.

Множество натуральных чисел $\text{N}$ — это числа, используемые при счете: $N = \{1, 2, 3, \ldots\}$.

Утверждение гласит, что для любого натурального числа $\text{n}$ существует натуральное число $n-1$.

Рассмотрим контрпример. Возьмем самое маленькое натуральное число, $n=1$. Число, которое меньше его на 1, это $1 - 1 = 0$. Число 0 не является натуральным. Так как мы нашли хотя бы одно натуральное число (а именно, 1), для которого утверждение не выполняется, оно является ложным.

Ответ: неверно.

2) Старший разряд числа можно записать любой цифрой.

Старший разряд числа — это его самая левая цифра в стандартной десятичной записи. Цифры, которые мы используем: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Согласно правилам записи натуральных чисел, первая цифра в записи числа не может быть нулем. Например, число «сто двадцать три» записывается как 123, а не 0123. Запись с ведущим нулем не является стандартной для натуральных чисел, так как этот ноль не несет информации о значении числа. Таким образом, старший разряд числа не может быть записан цифрой 0, а значит, не может быть записан *любой* цифрой.

Ответ: неверно.

3) Для каждого натурального числа, кроме 1, существует натуральное число, которое меньше его на 1.

Это утверждение рассматривает все натуральные числа $\text{n}$, для которых $n > 1$. То есть, числа из множества $\{2, 3, 4, \ldots\}$.

Для любого такого числа $\text{n}$, число, которое меньше его на 1, равно $n-1$.

Поскольку $\text{n}$ — натуральное число и $n > 1$, наименьшее возможное значение $\text{n}$ в данном случае — это 2. Следовательно, $n \ge 2$.

Вычтем 1 из обеих частей неравенства: $n-1 \ge 2-1$, что дает $n-1 \ge 1$.

Это означает, что для любого натурального числа $\text{n}$, большего 1, результат $n-1$ всегда будет целым числом, большим или равным 1. А это и есть определение натурального числа. Утверждение верно.

Ответ: верно.

4) Старший разряд натурального числа записывается цифрой, отличной от 0.

Это утверждение является прямым следствием правил записи чисел в десятичной системе счисления. Как было объяснено в пункте 2, первая (самая левая) цифра в записи любого натурального числа не может быть нулем. Если бы она была нулем, эта запись была бы либо нестандартной (например, 042 вместо 42), либо это было бы число 0, которое не является натуральным. Для любого натурального числа, будь то однозначное (например, 5) или многозначное (например, 894), его старший разряд (5 и 8 соответственно) всегда будет цифрой из набора $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Все эти цифры отличны от 0. Утверждение верно.

Ответ: верно.