номер 390, страница 135, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

390. Сократите дробь:

1) $\frac{2^3 \cdot 3^3 \cdot 5}{3^2 \cdot 2^3}$;

2) $\frac{45 \cdot 4^2}{80 \cdot 3^2}$;

3) $\frac{7^3 \cdot 2^3}{16 \cdot 49}$;

4) $\frac{11 \cdot 9 \cdot 5}{3^3 \cdot 11^2}$;

5) $\frac{5^2 \cdot 3^3}{9 \cdot 25}$;

6) $\frac{5^3 \cdot 29}{87 \cdot 25}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{2^3 \cdot 3^3 \cdot 5}{3^2 \cdot 2^3}$, сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и выполним сокращение, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{2^3 \cdot 3^3 \cdot 5}{3^2 \cdot 2^3} = \frac{2^3}{2^3} \cdot \frac{3^3}{3^2} \cdot 5 = 2^{3-3} \cdot 3^{3-2} \cdot 5 = 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5 = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: $15$.

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{45 \cdot 4^2}{80 \cdot 3^2}$, разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители.

$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

$4^2 = (2^2)^2 = 2^4$

$80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$

Подставим разложения в исходную дробь:

$\frac{45 \cdot 4^2}{80 \cdot 3^2} = \frac{(3^2 \cdot 5) \cdot 2^4}{(2^4 \cdot 5) \cdot 3^2} = \frac{3^2 \cdot 5 \cdot 2^4}{2^4 \cdot 5 \cdot 3^2} = 1$.

Все множители в числителе и знаменателе сокращаются.

Ответ: $\text{1}$.

3)

Чтобы сократить дробь $\frac{7^3 \cdot 2^3}{16 \cdot 49}$, представим числа в знаменателе в виде степеней простых чисел.

$16 = 2^4$

$49 = 7^2$

Подставим эти значения в дробь и применим свойство частного степеней:

$\frac{7^3 \cdot 2^3}{16 \cdot 49} = \frac{7^3 \cdot 2^3}{2^4 \cdot 7^2} = \frac{7^3}{7^2} \cdot \frac{2^3}{2^4} = 7^{3-2} \cdot 2^{3-4} = 7^1 \cdot 2^{-1} = 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

Ответ: $\frac{7}{2}$.

4)

Чтобы сократить дробь $\frac{11 \cdot 9 \cdot 5}{3^3 \cdot 11^2}$, представим число 9 в виде степени числа 3.

$9 = 3^2$

Подставим это значение в дробь:

$\frac{11 \cdot 9 \cdot 5}{3^3 \cdot 11^2} = \frac{11^1 \cdot 3^2 \cdot 5}{3^3 \cdot 11^2}$.

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сократим:

$\frac{3^2}{3^3} \cdot \frac{11^1}{11^2} \cdot 5 = 3^{2-3} \cdot 11^{1-2} \cdot 5 = 3^{-1} \cdot 11^{-1} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{11} \cdot 5 = \frac{5}{3 \cdot 11} = \frac{5}{33}$.

Ответ: $\frac{5}{33}$.

5)

Чтобы сократить дробь $\frac{5^2 \cdot 3^3}{9 \cdot 25}$, представим числа в знаменателе в виде степеней простых чисел.

$9 = 3^2$

$25 = 5^2$

Подставим эти значения в дробь:

$\frac{5^2 \cdot 3^3}{9 \cdot 25} = \frac{5^2 \cdot 3^3}{3^2 \cdot 5^2} = \frac{5^2}{5^2} \cdot \frac{3^3}{3^2} = 5^{2-2} \cdot 3^{3-2} = 5^0 \cdot 3^1 = 1 \cdot 3 = 3$.

Ответ: $\text{3}$.

6)

Чтобы сократить дробь $\frac{5^3 \cdot 29}{87 \cdot 25}$, разложим числа в знаменателе на множители.

$87 = 3 \cdot 29$

$25 = 5^2$

Подставим разложения в исходную дробь:

$\frac{5^3 \cdot 29}{87 \cdot 25} = \frac{5^3 \cdot 29}{(3 \cdot 29) \cdot 5^2} = \frac{5^3}{5^2} \cdot \frac{29}{29} \cdot \frac{1}{3} = 5^{3-2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} = 5^1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$.