Вопросы, страница 111 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.1. Делители и кратные. Глава 6. Делимость чисел - страница 111.

Слово «кратное» русского происхождения. Согласно разъяснению, приведённому в толковом словаре старинных терминов, «кратный» означает «известное число разов». Приведите примеры других слов с корнем «крат».

Сформулируйте несколько выводов из равенства $30 = 5 \cdot 6$, используя слова «делится», «делитель», «кратное».

Покажите на примере числа 18, как можно найти все делители некоторого числа.

Какие общие делители имеют числа 10 и 6? Чему равен их наибольший общий делитель?

Числа 5 и 6 имеют только один общий делитель. Назовите его. Укажите ещё какую-нибудь пару чисел, обладающих таким же свойством.

Как начинается ряд чисел, кратных числу 5? Какое число стоит в этом ряду на двенадцатом месте? на сотом месте?

Назовите несколько общих кратных чисел 5 и 4. Расскажите, как можно найти их наименьшее общее кратное.

Слово «кратное» русского происхождения. Согласно разъяснению, приведённому в толковом словаре старинных терминов, «кратный» означает «известное число разов». Приведите примеры других слов с корнем «крат».

Корень «крат» встречается во многих словах русского языка и обычно связан со значением повторения или количества раз. Примеры таких слов:

• Многократный (повторяющийся много раз)
• Двукратный (происходящий дважды)
• Стократный (увеличенный в сто раз)
• Неоднократный (случавшийся не один раз)
• Сократить (уменьшить, сделать короче)

Ответ: Многократный, двукратный, неоднократный.

Сформулируйте несколько выводов из равенства 30 = 5 · 6, используя слова «делится», «делитель», «кратное».

Из равенства $30 = 5 \cdot 6$ можно сделать следующие выводы:

• Число 30 делится на 5 без остатка.
• Число 30 делится на 6 без остатка.
• Число 5 является делителем числа 30.
• Число 6 является делителем числа 30.
• Число 30 является кратным числу 5.
• Число 30 является кратным числу 6.

Ответ: Число 30 делится на 5; число 6 является делителем числа 30; число 30 кратно 5.

Покажите на примере числа 18, как можно найти все делители некоторого числа.

Чтобы найти все делители числа 18, нужно последовательно проверять, делится ли 18 на целые числа, начиная с 1. Удобно искать делители парами.

1. Любое число делится на 1, поэтому первый делитель — 1. $18 : 1 = 18$. Таким образом, мы нашли пару делителей: 1 и 18.
2. Проверяем следующее число, 2. $18 : 2 = 9$. Значит, 2 и 9 — тоже делители.
3. Проверяем число 3. $18 : 3 = 6$. Значит, 3 и 6 — делители.
4. Проверяем число 4. 18 на 4 без остатка не делится.
5. Проверяем число 5. 18 на 5 без остатка не делится.
6. Следующее число для проверки — 6, но оно уже найдено в паре с 3. Это означает, что все делители найдены.

Выписываем все найденные делители в порядке возрастания: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Ответ: Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Какие общие делители имеют числа 10 и 6? Чему равен их наибольший общий делитель?

Сначала найдём все делители для каждого числа.

• Делители числа 10: 1, 2, 5, 10.
• Делители числа 6: 1, 2, 3, 6.

Теперь выберем те делители, которые есть в обоих списках. Это и будут общие делители.

Общие делители чисел 10 и 6: 1, 2.

Наибольший из этих общих делителей (НОД) — это 2.

Ответ: Общие делители — 1, 2. Наибольший общий делитель — 2.

Числа 5 и 6 имеют только один общий делитель. Назовите его. Укажите ещё какую-нибудь пару чисел, обладающих таким же свойством.

Найдём делители чисел 5 и 6.

• Делители числа 5 (простое число): 1, 5.
• Делители числа 6: 1, 2, 3, 6.

Единственный общий делитель для 5 и 6 — это число 1. Такие числа называются взаимно простыми.

Другой парой чисел, обладающей таким же свойством (имеющей только один общий делитель — 1), могут быть, например, числа 8 и 9.

• Делители числа 8: 1, 2, 4, 8.
• Делители числа 9: 1, 3, 9.

Их единственный общий делитель также равен 1.

Ответ: Общий делитель — 1. Пример другой пары: 8 и 9.

Как начинается ряд чисел, кратных числу 5? Какое число стоит в этом ряду на двенадцатом месте? на сотом месте?

Ряд чисел, кратных числу 5, — это последовательность чисел, которые делятся на 5 без остатка. Ряд начинается с самого числа 5 (если рассматривать натуральные кратные) и продолжается с шагом 5.

Начало ряда: 5, 10, 15, 20, 25, ...

Чтобы найти число, стоящее на n-м месте в этом ряду, нужно умножить 5 на n.

• На двенадцатом месте стоит число: $5 \cdot 12 = 60$.
• На сотом месте стоит число: $5 \cdot 100 = 500$.

Ответ: Ряд начинается с 5, 10, 15... На двенадцатом месте стоит 60, на сотом — 500.

Назовите несколько общих кратных чисел 5 и 4. Расскажите, как можно найти их наименьшее общее кратное.

Общие кратные чисел 5 и 4 — это числа, которые делятся и на 5, и на 4 одновременно. Чтобы их найти, можно выписывать кратные для каждого числа.

• Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, ...
• Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, ...

Несколько общих кратных: 20, 40, 60.

Наименьшее общее кратное (НОК) — это самое маленькое из общих кратных. Чтобы его найти, можно выписывать ряды кратных для обоих чисел, пока не встретится первое одинаковое число. В данном случае это 20.

Другой способ: так как числа 4 и 5 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), их наименьшее общее кратное равно их произведению: $4 \cdot 5 = 20$.

Ответ: Общие кратные: 20, 40, 60. Наименьшее общее кратное можно найти, выписывая кратные каждого числа, пока не найдется первое совпадение, либо перемножив числа, если они взаимно простые. НОК(4, 5) = 20.