Номер 122, страница 32 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

122. Какие законы используют при сложении и вычитании столбиком?

Сложение и вычитание столбиком — это алгоритмы, которые основаны на представлении чисел в позиционной (десятичной) системе счисления и на основных законах арифметики. Ключевая идея заключается в том, что любое многозначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Например, число $345$ — это $3 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 1$. Это свойство позволяет нам выполнять операции поразрядно (отдельно с единицами, десятками, сотнями и т.д.).

При сложении столбиком используются следующие законы и свойства:
1. Представление чисел в виде суммы разрядных слагаемых. Это основа всего метода, позволяющая выстроить числа друг под другом так, чтобы соответствующие разряды находились в одном столбце.
2. Переместительный (коммутативный) закон сложения: $a + b = b + a$.
3. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
Эти два закона позволяют нам перегруппировывать слагаемые так, чтобы складывать единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями и так далее, в любом порядке.
Рассмотрим на примере сложения $247 + 185$.
Представим числа как суммы разрядных слагаемых:$247 + 185 = (200 + 40 + 7) + (100 + 80 + 5)$.
Используя переместительный и сочетательный законы, сгруппируем слагаемые по разрядам:
$(200 + 100) + (40 + 80) + (7 + 5) = 300 + 120 + 12$.
Далее происходит "перенос в следующий разряд", что также является следствием этих законов. Мы снова раскладываем числа и перегруппировываем:
$300 + (100 + 20) + (10 + 2) = (300 + 100) + (20 + 10) + 2 = 400 + 30 + 2 = 432$.
Алгоритм сложения столбиком является краткой и удобной записью этих математических преобразований.
Ответ: При сложении столбиком используются законы сложения (переместительный и сочетательный) и свойство представления числа в виде суммы разрядных слагаемых.

При вычитании столбиком используются следующие свойства:
1. Представление чисел в виде суммы разрядных слагаемых.
2. Свойство вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$. Это свойство лежит в основе поразрядного вычитания: мы можем вычитать из сотен сотни, из десятков — десятки и т.д.
3. Правило "заёма" из старшего разряда. Это не отдельный закон, а практическое применение разложения числа на разрядные слагаемые. Мы заменяем одну единицу старшего разряда на 10 единиц младшего (например, $1$ десяток = $10$ единиц).
Рассмотрим на примере вычитания $432 - 185$.
Представим числа в виде сумм:$432 - 185 = (400 + 30 + 2) - (100 + 80 + 5)$.
Чтобы выполнить вычитание по разрядам, необходимо произвести "заём". Из $2$ единиц нельзя вычесть $5$, поэтому "займем" $1$ десяток у $30$:
$400 + (20 + 10) + 2 - (100 + 80 + 5) = 400 + 20 + 12 - (100 + 80 + 5)$.
Теперь из $20$ десятков нельзя вычесть $80$. "Займем" $1$ сотню у $400$:
$(300 + 100) + 20 + 12 - (100 + 80 + 5) = 300 + 120 + 12 - (100 + 80 + 5)$.
Теперь можно выполнить вычитание по разрядам, используя свойство вычитания суммы:
$(300 - 100) + (120 - 80) + (12 - 5) = 200 + 40 + 7 = 247$.
Вычитание столбиком — это упрощенная запись этого процесса.
Ответ: При вычитании столбиком используется свойство вычитания суммы из числа и представление числа в виде суммы разрядных слагаемых, что позволяет выполнять поразрядное вычитание с "заёмом" из старших разрядов.