Номер 120, страница 30 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

120. а) Каким может быть число $a$, чтобы вы могли устно вычислить разность двух произведений: $987 \cdot 654 - 987 \cdot a$? Приведите несколько примеров.

б) Какое самое большое натуральное число $a$ можно взять, чтобы разность в задании а была натуральным числом?

в) Какое число $a$ нужно взять, чтобы разность в задании а была нулём?

а) Чтобы упростить устное вычисление, преобразуем выражение, вынеся общий множитель 987 за скобки, используя распределительное свойство умножения:

$987 \cdot 654 - 987 \cdot a = 987 \cdot (654 - a)$

Теперь задача сводится к умножению числа 987 на разность $(654 - a)$. Устный счёт будет наиболее простым, если эта разность будет являться "круглым" числом, таким как 1, 10, 100 и т.п. Подберем соответствующие значения a.

Пример 1:
Пусть $(654 - a) = 1$. Тогда $a = 654 - 1 = 653$.
Вычисление: $987 \cdot 1 = 987$.

Пример 2:
Пусть $(654 - a) = 10$. Тогда $a = 654 - 10 = 644$.
Вычисление: $987 \cdot 10 = 9870$.

Пример 3:
Пусть $(654 - a) = 100$. Тогда $a = 654 - 100 = 554$.
Вычисление: $987 \cdot 100 = 98700$.

Ответ: например, $a$ может быть равно 653, 644 или 554.

б) Разность $987 \cdot (654 - a)$ должна быть натуральным числом. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$).

Это означает, что результат вычисления должен быть больше нуля:

$987 \cdot (654 - a) > 0$

Множитель 987 — положительное число. Чтобы произведение было положительным, второй множитель также должен быть положительным:

$654 - a > 0$

Решим это неравенство относительно a:

$a < 654$

По условию, a — натуральное число. Самое большое натуральное число, которое меньше 654, это 653.

При $a=653$ разность равна $987 \cdot (654-653) = 987 \cdot 1 = 987$, что является натуральным числом.
При $a=654$ разность равна $987 \cdot (654-654) = 0$, что не является натуральным числом.

Ответ: 653.

в) Чтобы разность была равна нулю, необходимо решить уравнение:

$987 \cdot 654 - 987 \cdot a = 0$

Преобразуем его, вынеся общий множитель за скобки:

$987 \cdot (654 - a) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $987 \neq 0$, то нулю должен быть равен второй множитель:

$654 - a = 0$

Отсюда находим a:

$a = 654$

Ответ: 654.