Номер 233, страница 54 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

23. Чему равен остаток при делении нацело?

Остаток при делении нацело — это целое число, которое остается после вычитания из делимого максимально возможного количества целых делителей. Остаток всегда является неотрицательным числом и строго меньше модуля делителя.

Это соотношение описывается формулой деления с остатком. Для любого целого числа $a$ (делимое) и целого числа $b$ (делитель, $b \neq 0$), существуют единственные целые числа $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток), такие, что выполняется равенство:

$a = b \cdot q + r$, где $0 \le r < |b|$

Так как в вопросе не указаны конкретные числа для деления, ниже приведены примеры, которые иллюстрируют, как найти остаток в различных ситуациях.

Пример 1: Найти остаток от деления 23 на 5.
Нужно найти такие целые числа q и r, чтобы выполнялось равенство $23 = 5 \cdot q + r$ при условии $0 \le r < 5$.
1. Находим, сколько раз число 5 целиком помещается в числе 23. Ближайшее к 23 число, которое меньше его и делится на 5 без остатка, — это 20. $20 / 5 = 4$. Следовательно, неполное частное $q = 4$.
2. Теперь находим остаток. Для этого из делимого вычитаем произведение делителя на неполное частное: $r = 23 - 5 \cdot 4 = 23 - 20 = 3$.
3. Проверяем, выполняется ли условие для остатка: $0 \le 3 < 5$. Условие выполнено.
Таким образом, $23 = 5 \cdot 4 + 3$.
Ответ: 3

Пример 2: Найти остаток от деления 42 на 7.
Нужно найти такие целые числа q и r, чтобы выполнялось равенство $42 = 7 \cdot q + r$ при условии $0 \le r < 7$.
1. Делим 42 на 7: $42 / 7 = 6$. Деление выполняется нацело, без остатка. Это означает, что неполное частное равно частному, $q = 6$.
2. Находим остаток: $r = 42 - 7 \cdot 6 = 42 - 42 = 0$.
3. Проверяем условие: $0 \le 0 < 7$. Условие выполнено.
Таким образом, $42 = 7 \cdot 6 + 0$.
Ответ: 0

Пример 3: Найти остаток от деления 4 на 9.
Нужно найти такие целые числа q и r, чтобы выполнялось равенство $4 = 9 \cdot q + r$ при условии $0 \le r < 9$.
1. Поскольку делимое (4) меньше делителя (9), делитель не помещается в делимом ни одного целого раза. Следовательно, неполное частное $q = 0$.
2. Находим остаток: $r = 4 - 9 \cdot 0 = 4 - 0 = 4$.
3. Проверяем условие: $0 \le 4 < 9$. Условие выполнено.
Таким образом, $4 = 9 \cdot 0 + 4$.
Ответ: 4