Номер 74, страница 18, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

74 Среди данных четырёх задач найди такие задачи, математические модели которых совпадают.

1) Расстояние от села Михайловка до деревни Зайцево $a$ км, а от деревни Зайцево до города – в 2 раза больше.

Грузовик проехал от села Михайловка до города через Зайцево со скоростью $b$ км/ч. Сколько времени он был в пути?

2) Ширина прямоугольника $a$ м, а длина – в 2 раза больше.

Длину уменьшили на $6$ м. Чему стала равна площадь прямоугольника?

3) За $b$ ч работы один автомат закрывает $a$ банок, а другой – в 2 раза больше.

Сколько банок закроют они вместе за $1$ ч, если будут работать с той же производительностью?

4) Во дворе гуляют $a$ мальчиков, а девочек – в 2 раза больше.

Для игры все дети разбились на команды по $b$ человек в каждой. Сколько получилось команд?

Для того чтобы найти задачи с одинаковыми математическими моделями, составим для каждой из них выражение, описывающее ее решение.

1) Сначала определим общее расстояние, которое проехал грузовик. Расстояние от села Михайловка до деревни Зайцево составляет $a$ км. Расстояние от деревни Зайцево до города в 2 раза больше, следовательно, оно равно $2 \cdot a = 2a$ км. Общее расстояние является суммой этих двух участков: $S = a + 2a$. Чтобы найти время в пути $t$, нужно разделить общее расстояние $S$ на скорость $v$, которая по условию равна $b$ км/ч. Таким образом, математическая модель задачи имеет вид: $t = \frac{a+2a}{b}$.

Ответ: $\frac{a+2a}{b}$

2) Ширина прямоугольника равна $a$ м. Его длина в 2 раза больше, то есть $2a$ м. Длину уменьшили на $b$ м, значит, новая длина стала равна $2a - b$ м. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его ширины и длины. Математическая модель для нахождения новой площади прямоугольника: $S = a \cdot (2a - b)$.

Ответ: $a(2a-b)$

3) Производительность первого автомата (количество банок, закрываемых за 1 час) равна отношению количества банок к времени, то есть $P_1 = \frac{a}{b}$ банок/час. Второй автомат за то же время $b$ часов закрывает в 2 раза больше банок, то есть $2a$ банок. Его производительность равна $P_2 = \frac{2a}{b}$ банок/час. Чтобы узнать, сколько банок они закроют вместе за 1 час, нужно сложить их производительности. Математическая модель для нахождения их совместной производительности: $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{a}{b} + \frac{2a}{b}$. Это выражение можно записать как $\frac{a+2a}{b}$.

Ответ: $\frac{a+2a}{b}$

4) Во дворе гуляют $a$ мальчиков. Девочек в 2 раза больше, то есть их количество равно $2a$. Общее число детей во дворе равно сумме мальчиков и девочек: $a + 2a$. Всех детей разделили на команды по $b$ человек в каждой. Чтобы найти количество получившихся команд, нужно общее количество детей разделить на число человек в одной команде. Математическая модель для нахождения количества команд: $\frac{a+2a}{b}$.

Ответ: $\frac{a+2a}{b}$

Сравнив полученные математические модели, мы видим, что выражения для задач 1, 3 и 4 полностью совпадают.

• Модель задачи 1: $\frac{a+2a}{b}$
• Модель задачи 2: $a(2a-b)$
• Модель задачи 3: $\frac{a+2a}{b}$
• Модель задачи 4: $\frac{a+2a}{b}$

Все три совпадающие модели сводятся к одному и тому же выражению: $\frac{3a}{b}$.

Ответ: Задачи 1, 3 и 4.