Номер 500, страница 106, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

500 1) Длина прямоугольника равна $a$ м, что составляет $\frac{5}{2}$ его ширины. Чему равна площадь прямоугольника?

2) Ширина прямоугольника $b$ дм, что составляет $\frac{3}{7}$ его длины. Чему равен периметр прямоугольника?

3) Сторона квадрата $c$ мм. Она составляет $\frac{4}{5}$ длины прямоугольника и $\frac{5}{6}$ его ширины. Во сколько раз площадь прямоугольника больше площади квадрата?

4) Длина прямоугольника равна $d$ см, что составляет $\frac{16}{9}$ его ширины. Ширина прямоугольника составляет $\frac{3}{4}$ стороны квадрата. Найди периметр квадрата.

1)

Пусть длина прямоугольника равна $L$, а ширина - $W$. По условию, длина $L = a$ м. Также известно, что длина составляет $\frac{5}{2}$ его ширины, то есть $L = \frac{5}{2}W$.

Чтобы найти ширину, выразим её из этого равенства:

$a = \frac{5}{2}W$

$W = a : \frac{5}{2} = a \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}a$ м.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение длины на ширину: $S = L \cdot W$.

Подставим известные значения:

$S = a \cdot \frac{2}{5}a = \frac{2}{5}a^2$ м$^2$.

Ответ: площадь прямоугольника равна $\frac{2}{5}a^2$ м$^2$.

2)

Пусть ширина прямоугольника равна $W$, а длина - $L$. По условию, ширина $W = b$ дм. Также известно, что ширина составляет $\frac{3}{7}$ его длины, то есть $W = \frac{3}{7}L$.

Чтобы найти длину, выразим её из этого равенства:

$b = \frac{3}{7}L$

$L = b : \frac{3}{7} = b \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{3}b$ дм.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(L + W)$.

Подставим известные значения:

$P = 2(\frac{7}{3}b + b) = 2(\frac{7}{3}b + \frac{3}{3}b) = 2 \cdot \frac{10}{3}b = \frac{20}{3}b = 6\frac{2}{3}b$ дм.

Ответ: периметр прямоугольника равен $\frac{20}{3}b$ дм (или $6\frac{2}{3}b$ дм).

3)

Пусть сторона квадрата равна $s_{кв}$. По условию, $s_{кв} = c$ мм.

Площадь квадрата $S_{кв}$ равна $s_{кв}^2 = c^2$ мм$^2$.

Сторона квадрата составляет $\frac{4}{5}$ длины прямоугольника ($L_{пр}$) и $\frac{5}{6}$ его ширины ($W_{пр}$).

$c = \frac{4}{5}L_{пр} \implies L_{пр} = c : \frac{4}{5} = c \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{4}c$ мм.

$c = \frac{5}{6}W_{пр} \implies W_{пр} = c : \frac{5}{6} = c \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{5}c$ мм.

Площадь прямоугольника $S_{пр}$ равна $L_{пр} \cdot W_{пр}$.

$S_{пр} = (\frac{5}{4}c) \cdot (\frac{6}{5}c) = \frac{5 \cdot 6}{4 \cdot 5}c^2 = \frac{30}{20}c^2 = \frac{3}{2}c^2$ мм$^2$.

Чтобы найти, во сколько раз площадь прямоугольника больше площади квадрата, найдём их отношение:

$\frac{S_{пр}}{S_{кв}} = \frac{\frac{3}{2}c^2}{c^2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: площадь прямоугольника больше площади квадрата в 1.5 раза.

4)

Пусть длина прямоугольника равна $L_{пр}$, а его ширина $W_{пр}$. По условию, $L_{пр} = d$ см.

Длина составляет $\frac{16}{9}$ его ширины, то есть $d = \frac{16}{9}W_{пр}$.

Найдем ширину прямоугольника: $W_{пр} = d : \frac{16}{9} = d \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{16}d$ см.

Ширина прямоугольника составляет $\frac{3}{4}$ стороны квадрата ($s_{кв}$), то есть $W_{пр} = \frac{3}{4}s_{кв}$.

Найдем сторону квадрата:

$\frac{9}{16}d = \frac{3}{4}s_{кв}$

$s_{кв} = (\frac{9}{16}d) : \frac{3}{4} = \frac{9}{16}d \cdot \frac{4}{3} = \frac{36}{48}d = \frac{3}{4}d$ см.

Периметр квадрата $P_{кв}$ вычисляется по формуле $P_{кв} = 4 \cdot s_{кв}$.

$P_{кв} = 4 \cdot \frac{3}{4}d = 3d$ см.

Ответ: периметр квадрата равен $3d$ см.