Номер 897, страница 191, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

897 Со станции вышел товарный поезд со скоростью 56 км/ч. Через 2 ч с той же станции и в том же направлении вышел пассажирский поезд со скоростью 84 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 1 ч 30 мин после выхода пассажирского поезда? Через сколько времени после своего выхода пассажирский поезд догонит товарный?

На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 1 ч 30 мин после выхода пассажирского поезда?

Для решения этой части задачи определим, какое расстояние проехал каждый поезд от станции.

1. Товарный поезд вышел на 2 часа раньше пассажирского. Время, которое интересует нас, — это 1 час 30 минут (или $1.5$ часа) после выхода пассажирского поезда. Следовательно, общее время движения товарного поезда к этому моменту составляет:
$t_т = 2 \text{ ч} + 1.5 \text{ ч} = 3.5 \text{ ч}$.

2. Найдем расстояние $S_т$, которое проехал товарный поезд за свое время в пути, двигаясь со скоростью $v_т = 56 \text{ км/ч}$:
$S_т = v_т \times t_т = 56 \text{ км/ч} \times 3.5 \text{ ч} = 196 \text{ км}$.

3. Теперь найдем расстояние $S_п$, которое проехал пассажирский поезд за свое время в пути ($t_п = 1.5 \text{ ч}$) со скоростью $v_п = 84 \text{ км/ч}$:
$S_п = v_п \times t_п = 84 \text{ км/ч} \times 1.5 \text{ ч} = 126 \text{ км}$.

4. Поскольку поезда движутся в одном направлении, расстояние между ними будет равно разнице расстояний, которые они проехали от станции.
$\Delta S = S_т - S_п = 196 \text{ км} - 126 \text{ км} = 70 \text{ км}$.

Ответ: расстояние между поездами будет 70 км.

Через сколько времени после своего выхода пассажирский поезд догонит товарный?

Чтобы найти время, через которое пассажирский поезд догонит товарный, воспользуемся понятием скорости сближения.

1. К моменту выхода пассажирского поезда товарный поезд уже был в пути 2 часа. За это время он создал отрыв (фору). Найдем величину этого отрыва:
$S_{отрыв} = v_т \times 2 \text{ ч} = 56 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 112 \text{ км}$.

2. Пассажирский поезд движется быстрее товарного, поэтому он будет сокращать расстояние между ними. Скорость, с которой пассажирский поезд догоняет товарный, называется скоростью сближения. Она равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_п - v_т = 84 \text{ км/ч} - 56 \text{ км/ч} = 28 \text{ км/ч}$.

3. Время, необходимое для того, чтобы догнать, можно найти, разделив начальное расстояние (отрыв) на скорость сближения.
$t_{встречи} = \frac{S_{отрыв}}{v_{сбл}} = \frac{112 \text{ км}}{28 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$.

Ответ: пассажирский поезд догонит товарный через 4 часа после своего выхода.