Номер 900, страница 191, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

900 Выполни действия и сократи получившиеся дроби, если значения всех переменных – натуральные числа:

а) $ \frac{a}{3b} \cdot \frac{12b}{a^2}; $

б) $ \frac{4c}{d} : \frac{8c^2}{3d}; $

в) $ \frac{x^3}{5y} \cdot \frac{10}{x}; $

г) $ \frac{35}{n} : \frac{14}{mn^2}. $

а) Чтобы выполнить умножение дробей, необходимо перемножить их числители и их знаменатели:
$ \frac{a}{3b} \cdot \frac{12b}{a^2} = \frac{a \cdot 12b}{3b \cdot a^2} $
Теперь сгруппируем числовые коэффициенты и переменные и выполним сокращение. Число $12$ делится на $3$, переменная $b$ в числителе и знаменателе сокращается, а $a$ в числителе сокращается с одним из множителей $a$ в знаменателе ($a^2 = a \cdot a$):
$ \frac{12ab}{3a^2b} = \frac{12}{3} \cdot \frac{a}{a^2} \cdot \frac{b}{b} = 4 \cdot \frac{1}{a} \cdot 1 = \frac{4}{a} $
Ответ: $ \frac{4}{a} $

б) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$ \frac{4c}{d} : \frac{8c^2}{3d} = \frac{4c}{d} \cdot \frac{3d}{8c^2} $
Перемножим числители и знаменатели и сгруппируем множители:
$ \frac{4c \cdot 3d}{d \cdot 8c^2} = \frac{4 \cdot 3 \cdot c \cdot d}{8 \cdot c^2 \cdot d} = \frac{12cd}{8c^2d} $
Сократим полученную дробь. Коэффициенты $12$ и $8$ сокращаются на $4$. Переменная $d$ в числителе и знаменателе сокращается. Переменная $c$ в числителе сокращается с одним из множителей $c$ в знаменателе ($c^2 = c \cdot c$):
$ \frac{12}{8} \cdot \frac{c}{c^2} \cdot \frac{d}{d} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{c} \cdot 1 = \frac{3}{2c} $
Ответ: $ \frac{3}{2c} $

в) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:
$ \frac{x^3}{5y} \cdot \frac{10}{x} = \frac{x^3 \cdot 10}{5y \cdot x} $
Сгруппируем и сократим общие множители:
$ \frac{10}{5} \cdot \frac{x^3}{x} \cdot \frac{1}{y} $
Выполним сокращение: $ \frac{10}{5}=2 $, $ \frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2 $.
$ 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{2x^2}{y} $
Ответ: $ \frac{2x^2}{y} $

г) Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:
$ \frac{35}{n} : \frac{14}{mn^2} = \frac{35}{n} \cdot \frac{mn^2}{14} $
Перемножим числители и знаменатели:
$ \frac{35 \cdot mn^2}{n \cdot 14} = \frac{35mn^2}{14n} $
Сгруппируем коэффициенты и переменные и выполним сокращение. Коэффициенты $35$ и $14$ сокращаются на $7$. Переменная $n^2$ в числителе и $n$ в знаменателе сокращаются на $n$:
$ \frac{35}{14} \cdot m \cdot \frac{n^2}{n} = \frac{5}{2} \cdot m \cdot n = \frac{5mn}{2} $
Ответ: $ \frac{5mn}{2} $