Номер 905, страница 192, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

905 Перерисуй четырёхугольник ABCD по клеточкам в тетрадь. Построй внешние углы этого четырёхугольника по одному при каждой вершине и найди их сумму. Повтори эксперимент ещё два раза для произвольных четырёхугольников EFGH и MNPQ и сформулируй гипотезу. Можно ли считать твою гипотезу верной на основании выполненных построений и измерений? Почему?

1. Построение и нахождение суммы внешних углов для четырёхугольника ABCD

Сначала перерисуем четырёхугольник ABCD по клеткам в тетрадь. Внешний угол многоугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом при этой вершине. Чтобы его построить, нужно продлить одну из сторон, образующих вершину, за эту вершину. Построим по одному такому внешнему углу при каждой из вершин A, B, C и D.

Далее, с помощью транспортира, измерим величины построенных внешних углов. Из-за особенностей чертежа и точности транспортира измерения будут приблизительными. Расчеты показывают следующие значения (которые можно получить при измерении):

- Внешний угол при вершине A равен примерно $119^\circ$.

- Внешний угол при вершине B равен $45^\circ$. (Сторона BC горизонтальна, а сторона AB образует угол $45^\circ$ с вертикалью).

- Внешний угол при вершине C равен примерно $79^\circ$.

- Внешний угол при вершине D равен примерно $117^\circ$.

Теперь найдем сумму этих углов:

$119^\circ + 45^\circ + 79^\circ + 117^\circ = 360^\circ$

Ответ: Сумма внешних углов четырёхугольника ABCD, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$.

2. Повторение эксперимента и формулировка гипотезы

Повторим эксперимент, как того требует задание. Начертим два произвольных выпуклых четырехугольника, например, EFGH и MNPQ. Для каждого из них выполним те же действия: построим по одному внешнему углу при каждой вершине и измерим их транспортиром. Сложив полученные четыре значения для EFGH, мы получим сумму, близкую к $360^\circ$. Проделав то же самое для MNPQ, мы снова получим результат, близкий к $360^\circ$. Возможные небольшие отклонения от $360^\circ$ (например, $359^\circ$ или $361^\circ$) объясняются погрешностью измерений.

На основе трех проведенных экспериментов можно сформулировать следующую гипотезу.

Ответ: Гипотеза: сумма внешних углов любого выпуклого четырёхугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

3. Можно ли считать гипотезу верной и почему?

Считать выдвинутую гипотезу строго доказанной на основании нескольких экспериментов нельзя. В математике утверждение считается верным, только если оно строго доказано для всех возможных случаев, а не проверено для нескольких примеров. Этому есть две основные причины:

1. Проблема индукции. Делать общий вывод на основе частных случаев (индуктивный метод) ненадежно. Может существовать какой-то особенный четырехугольник, для которого свойство не выполняется, но мы его не проверили.

2. Погрешность измерений. Любые практические измерения с помощью инструментов (транспортира, линейки) не являются абсолютно точными. Они всегда содержат погрешность. Поэтому мы не можем быть уверены, что сумма в точности равна $360^\circ$, а не, скажем, $360.01^\circ$.

Хотя наша гипотеза верна, ее доказательство требует не измерений, а логических рассуждений. Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $(4-2) \cdot 180^\circ = 360^\circ$. Пусть внутренние углы равны $\alpha, \beta, \gamma, \delta$. Тогда соответствующие им внешние углы равны $180^\circ - \alpha$, $180^\circ - \beta$, $180^\circ - \gamma$ и $180^\circ - \delta$. Их сумма равна:

$(180^\circ - \alpha) + (180^\circ - \beta) + (180^\circ - \gamma) + (180^\circ - \delta) = 4 \cdot 180^\circ - (\alpha + \beta + \gamma + \delta) = 720^\circ - 360^\circ = 360^\circ$.

Это доказывает, что сумма внешних углов любого выпуклого четырехугольника всегда равна $360^\circ$, но это доказательство основано на логике, а не на измерениях.

Ответ: Нет, на основании выполненных построений и измерений считать гипотезу абсолютно верной нельзя. Эксперимент лишь позволяет ее предположить, но не доказывает ее для всех без исключения случаев. Строгое доказательство требует теоретических рассуждений, а не измерений, которые всегда имеют погрешность.