Номер 909, страница 192, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

909 Витя нашёл такое двузначное натуральное число, при умножении которого на 2 получается точный квадрат, а при умножении на 3 – точный куб. Какое число нашёл Витя?

Пусть искомое двузначное натуральное число равно $N$. Согласно условиям задачи, мы имеем два утверждения:
1. При умножении числа $N$ на 2 получается точный квадрат. Это можно записать как $2N = a^2$, где a — некоторое целое число.
2. При умножении числа $N$ на 3 получается точный куб. Это можно записать как $3N = b^3$, где b — некоторое целое число.

Для того чтобы число было точным квадратом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть чётными. Для того чтобы число было точным кубом, все показатели степеней должны быть кратны 3.

Рассмотрим разложение числа $N$ на простые множители. Из условий видно, что в разложении $N$ должны присутствовать как минимум множители 2 и 3. Представим $N$ в виде $N = 2^x \cdot 3^y \cdot k$, где x и y — натуральные показатели, а k — произведение остальных простых множителей в соответствующих степенях.

Из условия $2N = a^2$ следует, что $2 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^{x+1} \cdot 3^y \cdot k$ является точным квадратом. Это означает, что все показатели степеней должны быть чётными:

• Показатель $x+1$ должен быть чётным, следовательно, x должен быть нечётным.
• Показатель y должен быть чётным.
• Все показатели в разложении k должны быть чётными.

Из условия $3N = b^3$ следует, что $3 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^x \cdot 3^{y+1} \cdot k$ является точным кубом. Это означает, что все показатели степеней должны быть кратны 3:

• Показатель x должен быть кратен 3.
• Показатель $y+1$ должен быть кратен 3.
• Все показатели в разложении k должны быть кратны 3.

Теперь объединим требования для показателей степеней, чтобы найти наименьшее возможное число $N$:
- Для показателя x (при 2): x должен быть нечётным и кратным 3. Наименьшее положительное значение, удовлетворяющее обоим условиям, это $x=3$.
- Для показателя y (при 3): y должен быть чётным, а $y+1$ должно быть кратно 3. Перебирая чётные числа ($0, 2, 4, \dots$), находим наименьшее значение: если $y=0$, то $y+1=1$ (не кратно 3); если $y=2$, то $y+1=3$ (кратно 3). Значит, наименьшее значение $y=2$.
- Для показателей простых множителей в k: они должны быть одновременно чётными и кратными 3, то есть кратными 6. Чтобы найти наименьшее число $N$, мы должны взять наименьшие возможные показатели, то есть 0. Это значит, что $k=1$.

Следовательно, наименьшее натуральное число $N$, удовлетворяющее условиям, равно $N = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Проверим, подходит ли это число. Число 72 является двузначным.

• $2 \cdot 72 = 144$, что является точным квадратом ($144=12^2$).
• $3 \cdot 72 = 216$, что является точным кубом ($216=6^3$).

Все условия выполнены. Любые другие числа, удовлетворяющие этим свойствам, будут получены при использовании бо́льших показателей степеней (например, $x=9$ или $y=8$) и будут значительно больше 99. Следовательно, 72 — это единственное двузначное число, которое искал Витя.

Ответ: 72.