Номер 912, страница 192, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

912 В контрольной работе по математике Вовочка сделал 10 ошибок, а остальные ребята – не больше. Докажи, что по крайней мере четверо учеников сделали одинаковое число ошибок (быть может, и ноль), если известно, что в классе 34 человека.

102

Для решения этой задачи используется принцип Дирихле, который гласит, что если $n$ объектов нужно разложить в $k$ ящиков, то по крайней мере в одном ящике окажется не менее $\lceil n/k \rceil$ объектов (где $\lceil x \rceil$ — это округление числа $x$ до ближайшего целого в большую сторону).

В данном случае:

1. «Объекты» — это ученики. Всего в классе 34 ученика, значит, $n = 34$.

2. «Ящики» — это возможное количество ошибок, которое мог сделать ученик. По условию, Вовочка сделал 10 ошибок, а остальные — не больше. Это значит, что количество ошибок может быть любым целым числом от 0 до 10. Посчитаем количество таких «ящиков»: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Всего 11 вариантов. Таким образом, $k = 11$.

Мы распределяем 34 ученика по 11 группам в зависимости от количества сделанных ими ошибок. Нам нужно доказать, что хотя бы в одной группе окажется не менее 4 учеников.

Докажем это методом от противного. Предположим, что в каждой группе (с каждым возможным количеством ошибок) находится не более 3 учеников. Тогда максимальное количество учеников, которое могло бы быть в классе, равно:

$11 \text{ (групп)} \times 3 \text{ (ученика в каждой группе)} = 33 \text{ ученика}$.

Однако по условию в классе 34 ученика. Мы получили противоречие, так как $34 > 33$. Это означает, что наше предположение о том, что в каждой группе не более 3 учеников, неверно. Следовательно, должна существовать по крайней мере одна группа, в которой находится 4 или более учеников.

Применяя формулу принципа Дирихле, мы получаем тот же результат:

Минимальное количество учеников в самой большой группе = $\lceil n/k \rceil = \lceil 34/11 \rceil = \lceil 3.0909... \rceil = 4$.

Таким образом, по крайней мере четверо учеников сделали одинаковое число ошибок.

Ответ: Утверждение доказано. В классе 34 ученика, а возможных вариантов количества ошибок — 11 (от 0 до 10). По принципу Дирихле, обязательно найдется группа по меньшей мере из $\lceil 34/11 \rceil = 4$ учеников, которые сделали одинаковое количество ошибок.