Номер 911, страница 192, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

911 В детский сад ходят 367 детей. Докажи, что хотя бы у двоих из них дни рождения в один и тот же день.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле. Этот принцип гласит: если $N$ предметов нужно разместить в $k$ ящиках, и при этом количество предметов больше количества ящиков ($N > k$), то по крайней мере в одном ящике окажется более одного предмета.

В нашей задаче «предметами» являются дети, а «ящиками» — дни года, в которые они могли родиться.

Количество детей (предметов) составляет $N = 367$.

Количество дней в году (ящиков) может быть либо 365 (в обычном году), либо 366 (в високосном году). Чтобы рассмотреть наиболее полный случай, возьмем максимальное возможное количество дней в году: $k = 366$.

Сравниваем количество детей $N$ и максимальное количество дней в году $k$. Мы видим, что $367 > 366$, то есть $N > k$.

Согласно принципу Дирихле, раз количество детей превышает количество дней в году, то неизбежно найдется хотя бы один день, на который придётся день рождения как минимум двух детей.

Можно также рассуждать методом от противного. Допустим, что у всех 367 детей дни рождения в разные дни. Это означает, что для каждого ребенка существует уникальная дата рождения. Следовательно, в году должно быть не менее 367 дней. Но это противоречит тому, что в году может быть максимум 366 дней (в високосном году). Значит, наше предположение было неверным.

Ответ: Утверждение доказано. Так как количество детей (367) больше максимального возможного количества дней в году (366), то по принципу Дирихле по крайней мере у двоих детей дни рождения обязательно совпадут.