Страница 23, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Назовите предметы, которые дают представление о плоскости. Есть ли у плоскости границы?

Представление о плоскости в окружающем мире дают любые ровные и гладкие поверхности. Например, поверхность стола, стеклянная витрина, поверхность стены или пола, гладь спокойной воды в озере. Эти предметы являются моделями части плоскости.

В геометрии плоскость является одним из основных понятий. Она считается идеально ровной, не имеющей толщины, и простирающейся бесконечно во все стороны. Следовательно, у математической плоскости нет границ.

Ответ: Предметы, дающие представление о плоскости: поверхность стола, стена, пол. У плоскости нет границ.

Как обозначают прямые?

Прямые в геометрии обозначают двумя основными способами:

• Одной строчной (маленькой) латинской буквой. Например, прямая $a$, прямая $b$.
• Двумя заглавными (большими) латинскими буквами, которыми обозначены две любые точки, лежащие на этой прямой. Например, прямая $AB$ или прямая $CD$.

Ответ: Прямые обозначают одной строчной латинской буквой (например, $a$) или двумя заглавными латинскими буквами (например, $AB$).

Сколько прямых проходит через две точки?

Через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну.

Ответ: Через две точки проходит только одна прямая.

Сколько общих точек могут иметь две пересекающиеся прямые?

Две прямые на плоскости могут либо не иметь общих точек (параллельные прямые), либо иметь бесконечно много общих точек (совпадающие прямые), либо иметь ровно одну общую точку. Если прямые пересекаются, то по определению они имеют только одну общую точку, которая называется точкой пересечения.

Ответ: Две пересекающиеся прямые могут иметь только одну общую точку.

Как называют части прямой АВ, на которые её делит точка С, лежащая между точками А и В этой прямой? Какой луч дополнителен лучу СА? лучу СВ?

Точка, лежащая на прямой, делит её на две части. Каждая из этих частей называется лучом или полупрямой. Точка $C$ делит прямую $AB$ на два луча с началом в точке $C$: луч $CA$ (проходящий через точку $A$) и луч $CB$ (проходящий через точку $B$).

Два луча одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны, называются дополнительными или противоположными лучами. Вместе они составляют всю прямую.

• Луч, дополнительный лучу $CA$, — это луч $CB$.
• Луч, дополнительный лучу $CB$, — это луч $CA$.

Ответ: Части прямой называются лучами ($CA$ и $CB$). Лучу $CA$ дополнителен луч $CB$. Лучу $CB$ дополнителен луч $CA$.

Какую фигуру называют углом?

Углом называют геометрическую фигуру, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.

Ответ: Углом называют фигуру, состоящую из точки (вершины) и двух исходящих из неё лучей (сторон).

Как обозначают угол?

Существует несколько способов обозначения угла:

1. Тремя заглавными латинскими буквами. В середине всегда указывается буква, обозначающая вершину угла, а две другие буквы обозначают точки, лежащие на сторонах угла. Например, $\angle ABC$ или $\angle CBA$.
2. Одной заглавной буквой, обозначающей его вершину. Этот способ используется только тогда, когда из данной вершины выходит только один угол и обозначение не может вызвать путаницы. Например, $\angle B$.
3. Маленькой греческой буквой (например, $\alpha, \beta, \gamma$) или цифрой, которой помечена внутренняя область угла на чертеже. Например, $\angle \alpha$ или $\angle 1$.

Ответ: Угол обозначают тремя заглавными буквами (например, $\angle ABC$), одной заглавной буквой (например, $\angle B$) или греческой буквой/цифрой (например, $\angle \alpha$).

1.92 Назовите точки, лежащие на прямой АК и не лежащие на ней (рис. 1.19).

Точки A, K, B, D лежат на прямой AK.

Точки L, C не лежат на прямой AK.

1.93 Имеют ли точку пересечения (рис. 1.20):

а) прямая PN и прямая XZ;

б) луч PN и прямая XZ;

в) отрезки МК и XZ;

г) прямые МК и XZ;

д) лучи PN и МК;

е) лучи PN и КМ?

а) да, так как прямую PN можно продлить с помощью линейки за точку P до пересечения с прямой XZ;

б) нет, так как луч PN нельзя продлить за точку P;

в) нет, так как отрезки продлевать нельзя;

г) да, так как прямую XZ можно продлить с помощью линейки за точку Х до пересечения с прямой MK;

д) да, так как лучи PN и MK можно продлить за точки N и K соответственно до их пересечения;

е) нет, так как лучи PN и KM можно продлить за точки N и M соответственно в разнее стороны.

1.94 а) Назовите углы на рисунке 1.21. Сколько углов на этом рисунке?

б) Сколько углов на рисунках 1.15 и 1.16?

а) ∠COD, ∠MOD, ∠COM.

Ответ: три угла.

Ответ: на рис. 1.15 шесть углов, на рис. 1.16 один угол.

5.105 Установите, какая из дробей меньше:

a) 67 или 27;

б) 321 или 1321;

в) 23100 или 21100;

г) 8710 000 или 7810 000.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, числитель которой меньше.

а) $\frac{2}{7}$;

б) $\frac{3}{21}$;

в) $\frac{21}{100}$;

г) $\frac{78}{10000}$

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{2}{7}$, нужно обратить внимание на их знаменатели. В данном случае знаменатели одинаковы и равны 7. Когда у двух дробей одинаковые знаменатели, меньше та дробь, у которой меньше числитель. Сравним числители: 6 и 2. Так как $2 < 6$, то и дробь $\frac{2}{7}$ меньше дроби $\frac{6}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$.

б) Сравниваем дроби $\frac{3}{21}$ и $\frac{13}{21}$. Обе дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 21. Для сравнения таких дробей достаточно сравнить их числители. Сравниваем числители 3 и 13. Поскольку $3 < 13$, делаем вывод, что дробь $\frac{3}{21}$ меньше дроби $\frac{13}{21}$.
Ответ: $\frac{3}{21}$.

в) Необходимо сравнить дроби $\frac{23}{100}$ и $\frac{21}{100}$. Знаменатели этих дробей одинаковы и равны 100. Применяем правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями: меньше та дробь, у которой числитель меньше. Сравниваем числители 23 и 21. Так как $21 < 23$, то дробь $\frac{21}{100}$ меньше, чем дробь $\frac{23}{100}$.
Ответ: $\frac{21}{100}$.

г) Сравниваем две дроби: $\frac{87}{10000}$ и $\frac{78}{10000}$. Знаменатели у обеих дробей совпадают и равны 10000. В этом случае для определения меньшей дроби нужно сравнить их числители. Сравниваем числители 87 и 78. Поскольку $78 < 87$, заключаем, что дробь $\frac{78}{10000}$ меньше, чем дробь $\frac{87}{10000}$.
Ответ: $\frac{78}{10000}$.

5.106 Какая точка лежит правее на координатной прямой:

а) K($\frac{11}{16}$) или P($\frac{9}{16}$)

Чтобы определить, какая из точек лежит правее на координатной прямой, необходимо сравнить их координаты. Точка с большей координатой будет расположена правее.

Сравниваем дроби $\frac{11}{16}$ и $\frac{9}{16}$.

Поскольку знаменатели у дробей одинаковы и равны 16, большей будет та дробь, у которой числитель больше.

Сравниваем числители: $11 > 9$.

Следовательно, $\frac{11}{16} > \frac{9}{16}$.

Координата точки K больше координаты точки P, значит, точка K лежит правее на координатной прямой.

Ответ: точка K.

б) C($\frac{3}{18}$) или D($\frac{6}{18}$)

Аналогично, чтобы определить, какая из точек лежит правее, сравним их координаты.

Сравниваем дроби $\frac{3}{18}$ и $\frac{6}{18}$.

Знаменатели этих дробей одинаковы и равны 18. Поэтому большей будет та дробь, у которой больше числитель.

Сравниваем числители: $6 > 3$.

Следовательно, $\frac{6}{18} > \frac{3}{18}$.

Координата точки D больше координаты точки C, значит, точка D лежит правее на координатной прямой.

Ответ: точка D.

5.107 Вычислите.

a) $53 - 46 = 53 - (40 + 6) = 53 - 40 - 6 =$

$= 13 - 6 = 7$

$7·7 = 49$

$49 + 31 = 80$

$80 - 45 = 80 - (40 + 5) = 80 - 40 - 5 =$

$= 40 - 5 = 35$

$35 : 7 = 5$

б) $520 + 280 = 800$

$800 : 20 = 40$

$40·5 = 200$

$200 : 25 = 8$

$8·125 = 8·(100 + 20 + 5) = 8·100 +$

$+ 8·20 + 8·5 = 800 + 160 + 40 =$

$= 1000$

в) $63 - 57 = 6$

$6·6 = 36$

$36 + 34 = 70$

$70 - 30 = 40$

$40 : 8 = 5$

г) $600 - 120 = 600 - (100 + 20) =$

$= 600 - 100 - 20 = 500 - 20 = 480$

$480 : 4 = 120$

$120·2 = 240$

$240 : 5 = (200 + 40) : 5 = 200 : 5 +$

$+ 40 : 5 = 40 + 8 = 48$

$48·20 = (40 + 8)·20 = 40·20 +$

$+ 8·20 = 800 + 160 = 960$

д) $81 - 73 = 8$

$8·8 = 64$

$64 + 26 = 90$

$90 - 58 = 90 - (50 + 8) = 90 - 50 - 8 =$

$= 40 - 8 = 32$

$32 : 8 = 4$

а) Для решения данного примера необходимо выполнить последовательно все указанные арифметические действия:
1. Первое действие — вычитание: $53 - 46 = 7$.
2. Второе действие — умножение результата на 7: $7 \cdot 7 = 49$.
3. Третье действие — сложение с числом 31: $49 + 31 = 80$.
4. Четвертое действие — вычитание 45: $80 - 45 = 35$.
5. Пятое действие — деление результата на 7: $35 : 7 = 5$.
Ответ: 5

б) Выполним последовательно все вычисления в столбике:
1. Первое действие — сложение: $520 + 280 = 800$.
2. Второе действие — деление результата на 20: $800 : 20 = 40$.
3. Третье действие — умножение на 5: $40 \cdot 5 = 200$.
4. Четвертое действие — деление на 25: $200 : 25 = 8$.
5. Пятое действие — умножение результата на 125: $8 \cdot 125 = 1000$.
Ответ: 1000

в) Решим пример, выполняя действия по порядку:
1. Первое действие — вычитание: $63 - 57 = 6$.
2. Второе действие — умножение результата на 6: $6 \cdot 6 = 36$.
3. Третье действие — сложение с числом 34: $36 + 34 = 70$.
4. Четвертое действие — вычитание 30: $70 - 30 = 40$.
5. Пятое действие — деление результата на 8: $40 : 8 = 5$.
Ответ: 5

г) Проведем вычисления шаг за шагом в указанном порядке:
1. Первое действие — вычитание: $600 - 120 = 480$.
2. Второе действие — деление результата на 4: $480 : 4 = 120$.
3. Третье действие — деление на 2: $120 : 2 = 60$.
4. Четвертое действие — деление на 5: $60 : 5 = 12$.
5. Пятое действие — умножение результата на 20: $12 \cdot 20 = 240$.
Ответ: 240

д) Вычислим значение выражения, следуя порядку действий:
1. Первое действие — вычитание: $81 - 73 = 8$.
2. Второе действие — умножение результата на 8: $8 \cdot 8 = 64$.
3. Третье действие — сложение с числом 26: $64 + 26 = 90$.
4. Четвертое действие — вычитание 58: $90 - 58 = 32$.
5. Пятое действие — деление результата на 8: $32 : 8 = 4$.
Ответ: 4

5.108 Прочитайте дроби и назовите их числители и знаменатели:

$\frac{1}{4}$ - одна четвёртая; 1-числитель, 4-знаменатель

$\frac{1}{7}$ - одна седьмая; 1-числитель, 7-знаменатель

$\frac{9}{13}$ - девять тринадцатых; 9-числитель, 13-знаменатель

$\frac{11}{21}$ - одиннадцать двадцать первых
11-числитель, 21-знаменатель

$\frac{30}{49}$ - тридцать сорок девятых
30-числитель, 49-знаменатель

$\frac{1}{11}$ - одна одиннадцатая, 1-числитель
11-знаменатель

$\frac{13}{70}$ - тринадцать семидесятых
13-числитель, 70-знаменатель

$\frac{33}{100}$ - тридцать три сотых,
33-числитель, 100-знаменатель

$\frac{119}{139}$ - сто девятнадцать сто тридцать
девятых, 119-числитель,
139-знаменатель

$\frac{200}{345}$ - двести триста сорок пятых,
200-числитель, 345-знаменатель

$\frac{333}{987}$ - триста тридцать три
девятьсот восемьдесят седьмых
333-числитель, 987-знаменатель

$ \frac{1}{4} $

Дробь читается: «одна четвертая». Числитель (верхнее число дроби) показывает, сколько долей целого взято. Здесь числитель равен 1. Знаменатель (нижнее число дроби) показывает, на сколько долей разделено целое. Здесь знаменатель равен 4.

Ответ: числитель — 1, знаменатель — 4.

$ \frac{1}{7} $

Дробь читается: «одна седьмая». Числитель дроби равен 1, а знаменатель равен 7.

Ответ: числитель — 1, знаменатель — 7.

$ \frac{9}{13} $

Дробь читается: «девять тринадцатых». Числитель дроби равен 9, а знаменатель равен 13.

Ответ: числитель — 9, знаменатель — 13.

$ \frac{11}{21} $

Дробь читается: «одиннадцать двадцать первых». Числитель дроби равен 11, а знаменатель равен 21.

Ответ: числитель — 11, знаменатель — 21.

$ \frac{30}{49} $

Дробь читается: «тридцать сорок девятых». Числитель дроби равен 30, а знаменатель равен 49.

Ответ: числитель — 30, знаменатель — 49.

$ \frac{1}{11} $

Дробь читается: «одна одиннадцатая». Числитель дроби равен 1, а знаменатель равен 11.

Ответ: числитель — 1, знаменатель — 11.

$ \frac{13}{70} $

Дробь читается: «тринадцать семидесятых». Числитель дроби равен 13, а знаменатель равен 70.

Ответ: числитель — 13, знаменатель — 70.

$ \frac{33}{100} $

Дробь читается: «тридцать три сотых». Числитель дроби равен 33, а знаменатель равен 100.

Ответ: числитель — 33, знаменатель — 100.

$ \frac{119}{139} $

Дробь читается: «сто девятнадцать сто тридцать девятых». Числитель дроби равен 119, а знаменатель равен 139.

Ответ: числитель — 119, знаменатель — 139.

$ \frac{200}{345} $

Дробь читается: «двести триста сорок пятых». Числитель дроби равен 200, а знаменатель равен 345.

Ответ: числитель — 200, знаменатель — 345.

$ \frac{333}{987} $

Дробь читается: «триста тридцать три девятьсот восемьдесят седьмых». Числитель дроби равен 333, а знаменатель равен 987.

Ответ: числитель — 333, знаменатель — 987.

5.109 Есть ли среди точек, отмеченных на координатной прямой, совпадающие:

$A\left(\frac{4}{20}\right);$ $B\left(\frac{2}{7}\right);$ $C\left(\frac{1}{5}\right);$ $D\left(\frac{4}{28}\right);$ $E\left(\frac{4}{20}\right);$ $K\left(\frac{20}{70}\right)?$

$A\left(\frac{4}{20}\right)$, $B\left(\frac{2}{7}\right)$, $C\left(\frac{1}{5}\right)$, $D\left(\frac{4}{28}\right)$, $E\left(\frac{4}{20}\right)$, $K\left(\frac{20}{70}\right)$

1) Очевидно, что точки $A\left(\frac{4}{20}\right)$ и $E\left(\frac{4}{20}\right)$ совпадающие.

1) Знаменатель дроби $\frac{4}{20}$ показывает, что единичный отрезок разделим на 20 частей (клеток), а числитель показывает, что возьмём 4 клетки из 20.
Чтобы отметить на координатной прямой точку $C\left(\frac{1}{5}\right)$, нужно единичный отрезок длиной 20 клеток разделить на 5 частей и взять 1 из них, т.е. $20÷5 \cdot 1 = 4$ (кл.). Таким образом, чтобы на координатной прямой точки A и E, нужно отсчитать 4 клетки.
Чтобы отметить точку C так же нужно отсчитать 4 клетки. Значит, точки $A\left(\frac{4}{20}\right)$, $C\left(\frac{1}{5}\right)$ и $E\left(\frac{4}{20}\right)$ совпадают.

3) Разделим единичный отрезок на координатной прямой на 70 частей и возьмём 20 из них. Отмечена точка $K\left(\frac{20}{70}\right)$.
Разделим единичный отрезок длиной 70 клеток на 7 равных частей и возьмём 2 из них, т.е. $70÷7 \cdot 2 = 20$ (кл.)
Таким образом, чтобы отметить на координатной прямой точки B и K, нужно отсчитать 20 клеток от начала отсчёта.
Значит, точки $B\left(\frac{2}{7}\right)$ и $K\left(\frac{20}{70}\right)$ совпадают.

4) Точка $D\left(\frac{4}{28}\right)$ не совпадает ни с какими другими точками.

Чтобы определить, есть ли среди отмеченных точек совпадающие, необходимо сравнить их координаты. Точки на координатной прямой считаются совпадающими, если их координаты равны. Для этого мы приведем каждую дробь-координату к ее простейшему (несократимому) виду путем сокращения.

A($\frac{4}{20}$)

Упростим дробь $\frac{4}{20}$. Наибольший общий делитель для числителя 4 и знаменателя 20 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:$\frac{4}{20} = \frac{4 \div 4}{20 \div 4} = \frac{1}{5}$.Координата точки A равна $\frac{1}{5}$.

B($\frac{2}{7}$)

Дробь $\frac{2}{7}$ уже является несократимой, так как числа 2 и 7 не имеют общих делителей, кроме 1.Координата точки B равна $\frac{2}{7}$.

C($\frac{1}{5}$)

Дробь $\frac{1}{5}$ также является несократимой. Сравнивая эту координату с предыдущими, мы видим, что она равна координате точки A: $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$. Значит, точки A и C совпадают.

D($\frac{4}{28}$)

Упростим дробь $\frac{4}{28}$. Наибольший общий делитель для 4 и 28 равен 4:$\frac{4}{28} = \frac{4 \div 4}{28 \div 4} = \frac{1}{7}$.Координата точки D равна $\frac{1}{7}$. Эта координата не совпадает ни с одной из предыдущих.

E($\frac{4}{20}$)

Координата точки E задана дробью $\frac{4}{20}$, которая идентична координате точки A. Мы уже знаем, что $\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.Таким образом, координата точки E совпадает с координатами точек A и C.

K($\frac{20}{70}$)

Упростим дробь $\frac{20}{70}$. Наибольший общий делитель для 20 и 70 равен 10:$\frac{20}{70} = \frac{20 \div 10}{70 \div 10} = \frac{2}{7}$.Координата точки K равна $\frac{2}{7}$, что совпадает с координатой точки B.

Таким образом, мы нашли две группы совпадающих точек:
1. Точки A, C, и E имеют одну и ту же координату $\frac{1}{5}$.
2. Точки B и K имеют одну и ту же координату $\frac{2}{7}$.

Ответ: да, среди отмеченных точек есть совпадающие. Совпадают точки A($\frac{4}{20}$), C($\frac{1}{5}$) и E($\frac{4}{20}$), так как их общая координата равна $\frac{1}{5}$. Также совпадают точки B($\frac{2}{7}$) и K($\frac{20}{70}$), так как их общая координата равна $\frac{2}{7}$.

5.110 Восьмиугольник на рисунке 5.32 состоит из равных треугольников. Какую часть составляет:

а) треугольник АОР от восьмиугольника MNCDEKPA;

б) треугольник MNO от четырёхугольника MNOA;

в) треугольник MNO от пятиугольника MNKPA;

г) четырёхугольник NCDO от пятиугольника NCDEK;

д) пятиугольник MNCDE от восьмиугольника MNCDEKPA?

Для решения задачи примем площадь одного малого треугольника (например, $?MNO$) за условную единицу площади $S$. Весь восьмиугольник $MNCDEKPA$ состоит из 8 таких равных треугольников, поэтому его общая площадь составляет $8S$.

а) какую часть составляет треугольник AOP от восьмиугольника MNCDEKPA;
Треугольник $AOP$ является одним из 8 равных треугольников, из которых состоит восьмиугольник. Его площадь равна $S$.
Площадь восьмиугольника $MNCDEKPA$ равна $8S$.
Отношение площади треугольника $AOP$ к площади восьмиугольника равно $\frac{S}{8S} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

б) какую часть составляет треугольник MNO от четырёхугольника MNOA;
Площадь треугольника $MNO$ равна $S$.
Четырёхугольник $MNOA$ состоит из двух равных треугольников: $?MNO$ и $?AMO$. Его площадь равна $S + S = 2S$.
Отношение площади треугольника $MNO$ к площади четырёхугольника $MNOA$ равно $\frac{S}{2S} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) какую часть составляет треугольник MNO от пятиугольника MNKPA;
Площадь треугольника $MNO$ равна $S$.
Название "пятиугольник" указывает, что фигура $MNKPA$ состоит из 5 равных треугольников. Её площадь равна $5S$.
Отношение площади треугольника $MNO$ к площади пятиугольника $MNKPA$ равно $\frac{S}{5S} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

г) какую часть составляет четырёхугольник NCDO от пятиугольника NCDEK;
Четырёхугольник $NCDO$ состоит из двух равных треугольников: $?NCO$ и $?CDO$. Его площадь равна $S + S = 2S$.
Пятиугольник $NCDEK$ образован вершинами $N, C, D, E, K$, которые идут последовательно по периметру восьмиугольника. Он состоит из четырёх равных треугольников: $?NCO$, $?CDO$, $?DEO$ и $?EKO$. Его площадь равна $S + S + S + S = 4S$.
Отношение площади четырёхугольника $NCDO$ к площади пятиугольника $NCDEK$ равно $\frac{2S}{4S} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

д) какую часть составляет пятиугольник MNCDE от восьмиугольника MNCDEKPA?
Пятиугольник $MNCDE$ образован вершинами $M, N, C, D, E$, которые идут последовательно по периметру восьмиугольника. Он состоит из четырёх равных треугольников: $?MNO$, $?NCO$, $?CDO$ и $?DEO$. Его площадь равна $S + S + S + S = 4S$.
Площадь всего восьмиугольника $MNCDEKPA$ равна $8S$.
Отношение площади пятиугольника $MNCDE$ к площади восьмиугольника $MNCDEKPA$ равно $\frac{4S}{8S} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

5.111 Муравей бежит по куску дерева, имеющему форму куба. Как ему попасть из какой-либо вершины куба в противоположную (рис. 5.33) кратчайшим путём? Сколько таких путей существует?

Муравей бежит из вершины N в противоположную вершину M. На рисунках видно, что путь чёрного цвета короче, чем путь красного цвета. Таких путей существует 6.

Ответ: 6

Как ему попасть из какой-либо вершины куба в противоположную кратчайшим путём?

Чтобы найти кратчайший путь по поверхности куба, необходимо представить его развёртку на плоскости. Кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости — это прямая линия.

Пусть муравей стартует из вершины M и должен добраться до противоположной вершины N. Его путь должен пройти по поверхности как минимум двух смежных граней. Если мы развернём эти две грани в одну плоскость, они образуют прямоугольник. Пусть ребро куба равно $a$, тогда стороны этого прямоугольника будут равны $a$ и $2a$. Вершины M и N окажутся в противоположных углах этого прямоугольника.

Кратчайший путь на этой развёртке — это диагональ получившегося прямоугольника. Её длину $L$ можно вычислить по теореме Пифагора:

$L = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

Таким образом, чтобы попасть в противоположную вершину кратчайшим путём, муравей должен двигаться по такой траектории, которая на развёртке из двух соответствующих граней представляет собой прямую линию.

Ответ: Кратчайший путь – это траектория, которая на развёртке двух смежных граней куба представляет собой прямую линию (диагональ прямоугольника со сторонами $a$ и $2a$). Длина этого пути равна $a\sqrt{5}$, где $a$ – длина ребра куба.

Сколько таких путей существует?

Чтобы определить количество кратчайших путей, нужно посчитать количество способов составить развёртку из двух граней, на которой начальная и конечная точки оказываются на противоположных углах.

Начальная вершина M принадлежит трём граням. Муравей может начать движение по любой из них. С каждой из этих трёх граней граничат по две грани, на которых лежит конечная вершина N (и которые не являются противоположными исходной грани).

Например, если муравей начинает движение по передней грани, то для кратчайшего пути он должен перейти либо на верхнюю грань, либо на правую грань. Каждый из этих двух вариантов соответствует своей паре граней для развёртки и определяет уникальный кратчайший путь.

Поскольку существует 3 грани, с которых можно начать движение от вершины M, и для каждой из них есть 2 варианта продолжения пути, общее количество кратчайших путей равно:

$3 \times 2 = 6$

Все 6 путей имеют одинаковую минимальную длину.

Ответ: Существует 6 таких путей.

5.112 Разделите с остатком:

а) 7 на 3;

б) 110 на 40;

в) 39 на 7;

г) 200 на 13.

а) $7 : 3 = 2\text{ост.}1$

б) $110 : 40 = 2\text{ост.}30$

в) $39 : 7 = 5\text{ост.}4$

г) $200 : 13 = 15\text{ост.}5$

а) 7 на 3

Чтобы разделить 7 на 3 с остатком, необходимо найти наибольшее число, которое меньше или равно 7 и делится на 3 без остатка. Это число 6.
1. Находим неполное частное (результат деления этого числа на 3):
$6 : 3 = 2$.
2. Находим остаток (разность между исходным числом и найденным числом):
$7 - 6 = 1$.
Проверим результат: неполное частное умножить на делитель и прибавить остаток должно равняться делимому. $2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$. Остаток (1) должен быть меньше делителя (3), что верно.
Ответ: 7 : 3 = 2 (ост. 1).

б) 110 на 40

Чтобы разделить 110 на 40 с остатком, найдем наибольшее число до 110, которое кратно 40.
$40 \cdot 1 = 40$
$40 \cdot 2 = 80$
$40 \cdot 3 = 120$ (это больше, чем 110).
Значит, наибольшее подходящее число — 80.
1. Находим неполное частное:
$80 : 40 = 2$.
2. Находим остаток:
$110 - 80 = 30$.
Проверка: $2 \cdot 40 + 30 = 80 + 30 = 110$. Остаток (30) меньше делителя (40).
Ответ: 110 : 40 = 2 (ост. 30).

в) 39 на 7

Чтобы разделить 39 на 7 с остатком, найдем наибольшее число до 39, которое делится на 7 без остатка.
$7 \cdot 5 = 35$
$7 \cdot 6 = 42$ (это больше, чем 39).
Наибольшее подходящее число — 35.
1. Находим неполное частное:
$35 : 7 = 5$.
2. Находим остаток:
$39 - 35 = 4$.
Проверка: $5 \cdot 7 + 4 = 35 + 4 = 39$. Остаток (4) меньше делителя (7).
Ответ: 39 : 7 = 5 (ост. 4).

г) 200 на 13

Чтобы разделить 200 на 13 с остатком, найдем наибольшее число до 200, кратное 13.
Выполним подбор:
$13 \cdot 10 = 130$.
$13 \cdot 15 = 195$.
$13 \cdot 16 = 208$ (это больше, чем 200).
Значит, наибольшее подходящее число — 195.
1. Находим неполное частное:
$195 : 13 = 15$.
2. Находим остаток:
$200 - 195 = 5$.
Проверка: $15 \cdot 13 + 5 = 195 + 5 = 200$. Остаток (5) меньше делителя (13).
Ответ: 200 : 13 = 15 (ост. 5).

5.113 Какую долю составляют:

а) сутки от недели;

б) минута от часа;

в) миллиметр от метра;

г) 1 мм³ от литра;

д) сутки от високосного года;

е) 1 м² от ара?

Почему 1 см³ называют ещё и миллилитром (1 мл)?

а) Чтобы найти, какую долю составляют сутки от недели, необходимо знать количество суток в неделе. В одной неделе 7 суток. Следовательно, одни сутки представляют собой одну из семи равных частей недели, что записывается в виде дроби.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

б) Чтобы определить, какую долю составляет минута от часа, нужно вспомнить, сколько минут в одном часе. В одном часе 60 минут. Таким образом, одна минута — это одна из шестидесяти равных частей часа.
Ответ: $\frac{1}{60}$.

в) Для нахождения доли миллиметра от метра необходимо знать их соотношение. В одном метре содержится 100 сантиметров, а в каждом сантиметре — 10 миллиметров. Следовательно, в одном метре $100 \times 10 = 1000$ миллиметров. Значит, один миллиметр составляет одну тысячную часть метра.
Ответ: $\frac{1}{1000}$.

г) Чтобы найти, какую долю составляет 1 мм? от литра, нужно привести эти единицы к общему основанию. 1 литр (л) по определению равен 1 кубическому дециметру (дм?). В одном дециметре 100 миллиметров ($1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$). Чтобы найти объем в кубических миллиметрах, нужно возвести это значение в куб: $1 \text{ дм}^3 = (100 \text{ мм})^3 = 100 \times 100 \times 100 = 1\;000\;000 \text{ мм}^3$. Таким образом, 1 мм? составляет одну миллионную часть литра.
Ответ: $\frac{1}{1\;000\;000}$.

д) Високосный год отличается от обычного количеством дней. В високосном году 366 суток (добавляется 29 февраля). Чтобы найти, какую долю составляют одни сутки от високосного года, нужно разделить единицу на общее количество суток.
Ответ: $\frac{1}{366}$.

е) Ар (или сотка) — это единица измерения площади. 1 ар равен площади квадрата со стороной 10 метров, то есть $1 \text{ ар} = 10 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 100 \text{ м}^2$. Следовательно, 1 м? составляет одну сотую часть ара.
Ответ: $\frac{1}{100}$.

Название «миллилитр» происходит от соотношения с основной единицей объема — литром.

1. По определению, 1 литр (л) — это объем, равный 1 кубическому дециметру ($1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$).

2. Приставка «милли-» в метрической системе означает одну тысячную ($10^{-3}$). Таким образом, 1 миллилитр (мл) — это одна тысячная часть литра: $1 \text{ мл} = \frac{1}{1000} \text{ л}$.

3. Рассмотрим соотношение между кубическим дециметром и кубическим сантиметром. В 1 дециметре содержится 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$).

4. Следовательно, объем в 1 кубический дециметр равен: $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 10 \times 10 \times 10 \text{ см}^3 = 1000 \text{ см}^3$.

5. Сопоставив пункты 1 и 4, мы получаем, что $1 \text{ л} = 1000 \text{ см}^3$.

6. Если разделить обе части этого равенства на 1000, то получим: $\frac{1}{1000} \text{ л} = 1 \text{ см}^3$.

7. Так как из пункта 2 мы знаем, что $\frac{1}{1000} \text{ л}$ — это 1 мл, то можно заключить, что $1 \text{ см}^3 = 1 \text{ мл}$.

Именно поэтому кубический сантиметр и миллилитр являются эквивалентными мерами объема, и $1 \text{ см}^3$ называют миллилитром.

5.114 В детский бассейн объёмом 500 л налили m л воды. Какая часть объёма бассейна занята водой? Ответ дайте при m = 100; m = 200; m = 300; m = 400.

Чтобы определить, какая часть объёма бассейна занята водой, необходимо найти отношение объёма налитой воды ($m$ л) к общему объёму бассейна (500 л). Это отношение выражается дробью $\frac{m}{500}$. Найдём значение этой дроби для каждого заданного значения $m$.

при m = 100
Найдём часть объёма, занятую водой, подставив $m = 100$:
$\frac{100}{500}$
Чтобы упростить дробь, разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 100:
$\frac{100 \div 100}{500 \div 100} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$

при m = 200
Найдём часть объёма, занятую водой, подставив $m = 200$:
$\frac{200}{500}$
Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 100:
$\frac{200 \div 100}{500 \div 100} = \frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{2}{5}$

при m = 300
Найдём часть объёма, занятую водой, подставив $m = 300$:
$\frac{300}{500}$
Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 100:
$\frac{300 \div 100}{500 \div 100} = \frac{3}{5}$
Ответ: $\frac{3}{5}$

при m = 400
Найдём часть объёма, занятую водой, подставив $m = 400$:
$\frac{400}{500}$
Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 100:
$\frac{400 \div 100}{500 \div 100} = \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{4}{5}$

5.115 Найдите, какую часть периметра квадрата составляет длина:

а) одной стороны;

б) двух сторон;

в) трёх сторон.

Периметр квадрата – это сумма длин его сторон.

Так как у квадрата все стороны равны, то его периметр составляет 4 равные части. Следовательно,

а) длина одной стороны составляет $\frac{1}{4}$ периметра квадрата;

б) длина двух сторон составляет $\frac{2}{4}$ или половину периметра квадрата;

в) длина трёх сторон составляет $\frac{3}{4}$ периметра квадрата.

Для решения этой задачи введем обозначение. Пусть длина стороны квадрата равна $a$. Периметр квадрата — это сумма длин всех его четырех сторон. Поскольку у квадрата все стороны равны, его периметр $P$ можно вычислить по формуле: $P = a + a + a + a = 4a$. Теперь найдем, какую часть от этого периметра составляют длины одной, двух и трёх сторон.

а) одной стороны

Длина одной стороны равна $a$. Чтобы найти, какую часть она составляет от периметра $P = 4a$, нужно разделить длину стороны на периметр: $\frac{a}{P} = \frac{a}{4a} = \frac{1}{4}$. Таким образом, длина одной стороны составляет одну четвертую часть периметра квадрата.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) двух сторон

Суммарная длина двух сторон равна $a + a = 2a$. Чтобы найти, какую часть она составляет от периметра $P = 4a$, нужно разделить эту сумму на периметр: $\frac{2a}{P} = \frac{2a}{4a} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Таким образом, длина двух сторон составляет одну вторую часть периметра квадрата.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) трёх сторон

Суммарная длина трёх сторон равна $a + a + a = 3a$. Чтобы найти, какую часть она составляет от периметра $P = 4a$, нужно разделить эту сумму на периметр: $\frac{3a}{P} = \frac{3a}{4a} = \frac{3}{4}$. Таким образом, длина трёх сторон составляет три четвертых части периметра квадрата.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

5.116 На самостоятельную работу ушло 5 мин. Какая часть урока ушла на самостоятельную работу, если урок длился 45 мин?

Урок - 45 мин

Самостоятельная работа - 5 мин

$\frac{5}{45}$ урока ушло на самостоятельную работу.

Ответ: $\frac{5}{45}$

Чтобы найти, какую часть урока ушла на самостоятельную работу, необходимо составить дробь. В числителе этой дроби будет время, потраченное на самостоятельную работу, а в знаменателе — общая продолжительность урока.

Время на самостоятельную работу: 5 мин.

Продолжительность урока: 45 мин.

Составляем дробь: $ \frac{5}{45} $.

Далее, нужно сократить полученную дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. В данном случае это 5.

$ \frac{5 \div 5}{45 \div 5} = \frac{1}{9} $

Следовательно, на самостоятельную работу ушла $ \frac{1}{9} $ часть урока.

Ответ: $ \frac{1}{9} $