Страница 25, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.111 Найдите число в последней клетке цепочки.

а) Чтобы найти число в последней клетке, необходимо выполнить все действия в цепочке по порядку, начиная с исходного числа 40.

1. Разделим 40 на 5: $40 : 5 = 8$.

2. Полученный результат умножим на 3: $8 \cdot 3 = 24$.

3. Теперь разделим 24 на 6: $24 : 6 = 4$.

4. К полученному числу прибавим 46: $4 + 46 = 50$.

Число в последней клетке цепочки равно 50.

Ответ: 50

б) Выполним последовательно все действия для второй цепочки, начиная с числа 72.

1. Разделим 72 на 8: $72 : 8 = 9$.

2. К результату прибавим 11: $9 + 11 = 20$.

3. Полученную сумму разделим на 5: $20 : 5 = 4$.

4. Результат умножим на 9: $4 \cdot 9 = 36$.

Число в последней клетке цепочки равно 36.

Ответ: 36

в) Выполним последовательно все действия для третьей цепочки, начиная с числа 28.

1. Разделим 28 на 7: $28 : 7 = 4$.

2. Полученный результат умножим на 8: $4 \cdot 8 = 32$.

3. К произведению прибавим 8: $32 + 8 = 40$.

4. Полученную сумму разделим на 10: $40 : 10 = 4$.

Число в последней клетке цепочки равно 4.

Ответ: 4

г) Выполним последовательно все действия для четвертой цепочки, начиная с числа 56.

1. Разделим 56 на 8: $56 : 8 = 7$.

2. К результату прибавим 13: $7 + 13 = 20$.

3. Полученную сумму разделим на 4: $20 : 4 = 5$.

4. Результат умножим на 8: $5 \cdot 8 = 40$.

Число в последней клетке цепочки равно 40.

Ответ: 40

1.112 Представьте в десятичной записи число:

а) один миллион четыреста семь тысяч семь;

б) десять миллиардов две тысячи сорок;

в) четырнадцать миллиардов пятьдесят семь миллионов десять тысяч двести три;

г) двести миллиардов двести пятьдесят миллионов пятьдесят четыре тысячи один.

а) 1 407 007;

б) 10 000 002 040;

в) 14 057 010 203;

г) 200 250 054 001.

а) Чтобы представить число "один миллион четыреста семь тысяч семь" в десятичной форме, нужно последовательно записать цифрами количество единиц каждого класса (миллионов, тысяч, единиц), начиная со старшего. Каждый класс, кроме самого левого, должен состоять из трех цифр. Если в словесном описании класса цифр меньше, то недостающие разряды слева заполняются нулями.
- Класс миллионов: "один" — это $1$.
- Класс тысяч: "четыреста семь" — это $407$.
- Класс единиц: "семь" — это $7$. Для трехзначной записи это будет $007$.
Соединяя цифры классов, получаем число $1\ 407\ 007$.
Также можно представить это число как сумму: $1 \cdot 1\ 000\ 000 + 407 \cdot 1\ 000 + 7 = 1\ 407\ 007$.
Ответ: $1\ 407\ 007$.

б) Для числа "десять миллиардов две тысячи сорок" разобьем его на классы:
- Класс миллиардов: "десять" — это $10$.
- Класс миллионов: в названии числа не упоминается, следовательно, он равен нулю и записывается как $000$.
- Класс тысяч: "две" — это $2$. Для трехзначной записи это будет $002$.
- Класс единиц: "сорок" — это $40$. Для трехзначной записи это будет $040$.
Соединяя цифры классов, получаем число $10\ 000\ 002\ 040$.
В виде суммы: $10 \cdot 1\ 000\ 000\ 000 + 2 \cdot 1\ 000 + 40 = 10\ 000\ 002\ 040$.
Ответ: $10\ 000\ 002\ 040$.

в) Для числа "четырнадцать миллиардов пятьдесят семь миллионов десять тысяч двести три" разобьем его на классы:
- Класс миллиардов: "четырнадцать" — это $14$.
- Класс миллионов: "пятьдесят семь" — это $57$. Для трехзначной записи это будет $057$.
- Класс тысяч: "десять" — это $10$. Для трехзначной записи это будет $010$.
- Класс единиц: "двести три" — это $203$.
Соединяя цифры классов, получаем число $14\ 057\ 010\ 203$.
В виде суммы: $14 \cdot 10^9 + 57 \cdot 10^6 + 10 \cdot 10^3 + 203 = 14\ 057\ 010\ 203$.
Ответ: $14\ 057\ 010\ 203$.

г) Для числа "двести миллиардов двести пятьдесят миллионов пятьдесят четыре тысячи один" разобьем его на классы:
- Класс миллиардов: "двести" — это $200$.
- Класс миллионов: "двести пятьдесят" — это $250$.
- Класс тысяч: "пятьдесят четыре" — это $54$. Для трехзначной записи это будет $054$.
- Класс единиц: "один" — это $1$. Для трехзначной записи это будет $001$.
Соединяя цифры классов, получаем число $200\ 250\ 054\ 001$.
В виде суммы: $200 \cdot 10^9 + 250 \cdot 10^6 + 54 \cdot 10^3 + 1 = 200\ 250\ 054\ 001$.
Ответ: $200\ 250\ 054\ 001$.

1.113 Прочитайте число:

а) 320 000 501;

б) 401 001 900;

в) 703 700 004 001.

а) 320 000 501 - триста двадцать миллионов пятьсот один;

б) 401 001 900 - четыреста один миллион одна тысяча девятьсот;

в) 703 700 004 001 - семьсот три миллиарда семьсот миллионов четыре тысячи один.

а) Для того чтобы прочитать число $320 \ 000 \ 501$, необходимо разбить его на классы по три цифры справа налево. Получаем три класса: класс миллионов ($320$), класс тысяч ($000$) и класс единиц ($501$).
Чтение числа производится слева направо по классам:
- $320$ в классе миллионов читается как «триста двадцать миллионов».
- $000$ в классе тысяч означает отсутствие тысяч, поэтому этот класс при чтении опускается.
- $501$ в классе единиц читается как «пятьсот один».
Объединяя части, получаем полное название числа.
Ответ: триста двадцать миллионов пятьсот один.

б) Разобьем число $401 \ 001 \ 900$ на классы: класс миллионов ($401$), класс тысяч ($001$) и класс единиц ($900$).
Читаем число по классам слева направо:
- $401$ в классе миллионов читается как «четыреста один миллион».
- $001$ в классе тысяч читается как «одна тысяча».
- $900$ в классе единиц читается как «девятьсот».
Объединяя части, получаем полное название числа.
Ответ: четыреста один миллион одна тысяча девятьсот.

в) Разобьем число $703 \ 700 \ 004 \ 001$ на классы. Это число имеет 12 цифр, поэтому оно содержит четыре класса: класс миллиардов ($703$), класс миллионов ($700$), класс тысяч ($004$) и класс единиц ($001$).
Читаем число по классам слева направо:
- $703$ в классе миллиардов читается как «семьсот три миллиарда».
- $700$ в классе миллионов читается как «семьсот миллионов».
- $004$ в классе тысяч читается как «четыре тысячи».
- $001$ в классе единиц читается как «один».
Объединяя все части, получаем полное название числа.
Ответ: семьсот три миллиарда семьсот миллионов четыре тысячи один.

1.114 Разбираемся в решении. В команду по кёрлингу входят 4 человека. Из своего состава команда выбирает скипа и вице-скипа. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Скипом можно избрать одного из четырёх человек:

После избрания скипа можно вице-скипом выбрать любого из трёх оставшихся членов команды:

Значит, скипа можно выбрать четырьмя способами, и для каждого выбранного скипа можно выбрать тремя способами вице-скипа. Получаем, что общее число способов выбрать скипа и вице-скипа равно: 4•3=12 (см. схему).

Скипом можно избрать одного из четырёх человек 1, 2, 3 или 4. После избрания скипа можно вице-скипом выбрать любого из трёх оставшихся членов команды. Скипа можно выбрать четырьмя способами и для каждого выбранного скипа можно выбрать тремя способами вице-скипа. Значит, общее число способов выбрать скипа и вице-скипа равно: 4 · 3 = 12.

Ответ: 12 способов.

1.115 1) Расстояние от города до села велосипедист проезжает за 4 ч, а пешеход проходит за 10 ч. С какой скоростью движется велосипедист, если скорость пешехода 6 км/ч?

2) Расстояние от пристани на берегу озера до острова катер проходит за 3 ч со скоростью 16 км/ч. Сколько времени потребуется для преодоления этого расстояния моторной лодке, движущейся со скоростью 12 км/ч?

1)

1) 6 · 10 = 60 (км) - расстояние от города до села;
2) 60 : 4 = 15 (км/ч) - скорость велосипедиста.

Ответ: 15 км/ч.

2)

1) 16 · 3 = 48 (км) - расстояние от пристани до острова;
2) 48 : 12 = 4 (ч)

Ответ: 4 ч.

1)

Чтобы найти скорость велосипедиста, сначала необходимо определить расстояние от города до села. Это расстояние одинаково как для велосипедиста, так и для пешехода. Мы можем вычислить его, используя данные о движении пешехода.

Основная формула для расчета расстояния: $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

1. Вычислим расстояние, зная скорость и время пешехода:

Скорость пешехода ($v_{пеш}$) = 6 км/ч.

Время в пути пешехода ($t_{пеш}$) = 10 ч.

$S = 6 \text{ км/ч} \cdot 10 \text{ ч} = 60 \text{ км}$.

Таким образом, расстояние от города до села составляет 60 км.

2. Теперь, зная расстояние, мы можем найти скорость велосипедиста ($v_{вел}$). Известно, что велосипедист проезжает это расстояние за 4 часа.

Время в пути велосипедиста ($t_{вел}$) = 4 ч.

Скорость вычисляется по формуле: $v = S / t$.

$v_{вел} = 60 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 15 \text{ км/ч}$.

Ответ: скорость велосипедиста 15 км/ч.

2)

Чтобы найти время, которое потребуется моторной лодке, сначала определим расстояние от пристани до острова. Мы можем вычислить это расстояние, используя данные о движении катера.

1. Вычислим расстояние, которое прошел катер:

Скорость катера ($v_{катер}$) = 16 км/ч.

Время в пути катера ($t_{катер}$) = 3 ч.

$S = v_{катер} \cdot t_{катер} = 16 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 48 \text{ км}$.

Расстояние от пристани до острова составляет 48 км.

2. Теперь найдем, сколько времени ($t_{лодка}$) потребуется моторной лодке, чтобы преодолеть это же расстояние со своей скоростью.

Скорость моторной лодки ($v_{лодка}$) = 12 км/ч.

Время вычисляется по формуле: $t = S / v$.

$t_{лодка} = 48 \text{ км} / 12 \text{ км/ч} = 4 \text{ ч}$.

Ответ: моторной лодке потребуется 4 часа.

1.116 Вычислите:

1) 4428 : 123 - 33;

2) 4000 - 3249 : 57.

$1) 4428 \stackrel{1}{:} 123 \stackrel{2}{-} 33 = 3$

1)

$2) 400 \stackrel{2}{-} 3249 \stackrel{1}{:} 57 = 3943$

1)

2)

1.117 Перенесите рисунок 1.22 в тетрадь и найдите точки пересечения прямых ED и AN, LK и AN, ED и LK.

ED и AN пересекаются в точке O;

LK и AN пересекаются в точке M;

ED и LK пересекаются в точке B.

1.118 а) Отметьте на луче SP точки В, С и D. Запишите все получившиеся лучи.

б) Отметьте точки А, В, С и D, лежащие на прямой MN, и точки L, Р и Q, не лежащие на ней.

5.131 Из m задач в первый день Миша решил а задач, а во второй - n задач. Какой смысл имеют следующие выражения:

а) m - a;

б) a + n;

в) m - (a + n);

г) m - a - n?

Определите, какие выражения принимают одинаковые значения при любых значениях букв m, a, n. Проверьте ваш ответ при m = 24, a = 3 и n = 11.

Сначала разберем смысл каждого выражения в контексте задачи, где $m$ — общее количество задач, $a$ — количество задач, решенных в первый день, а $n$ — количество задач, решенных во второй день.

а) $m - a$

Это выражение показывает разность между общим количеством задач и количеством задач, решенных в первый день. Таким образом, оно означает, сколько задач осталось решить после первого дня.

Ответ: количество задач, которые остались нерешенными после первого дня.

б) $a + n$

Это выражение является суммой задач, решенных в первый и во второй день. Оно показывает общее количество задач, которые Миша решил за два дня.

Ответ: общее количество задач, решенных за два дня.

в) $m - (a + n)$

Здесь из общего количества задач ($m$) вычитается сумма задач, решенных за два дня ($a + n$). Это выражение показывает, сколько задач осталось нерешенными после двух дней.

Ответ: количество задач, которые остались нерешенными после двух дней.

г) $m - a - n$

Это выражение показывает, как из общего числа задач ($m$) сначала вычитают задачи, решенные в первый день ($a$), а затем из остатка вычитают задачи, решенные во второй день ($n$). Результат также показывает, сколько задач осталось нерешенными после двух дней.

Ответ: количество задач, которые остались нерешенными после двух дней.

Теперь определим, какие выражения принимают одинаковые значения при любых значениях букв $m, a, n$.

Как мы выяснили из анализа смысла, выражения в) $m - (a + n)$ и г) $m - a - n$ оба описывают одну и ту же величину: количество задач, оставшихся после двух дней. Следовательно, их значения всегда будут одинаковыми.

Это следует из математического правила раскрытия скобок: если перед скобкой стоит знак минус, то при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные. То есть, $m - (a + n) = m - a - n$.

Проверим этот вывод, подставив в выражения в) и г) значения $m = 24$, $a = 3$ и $n = 11$.

Для выражения в):

$m - (a + n) = 24 - (3 + 11) = 24 - 14 = 10$.

Для выражения г):

$m - a - n = 24 - 3 - 11 = 21 - 11 = 10$.

Результаты совпали (оба равны 10), что подтверждает наше утверждение.

Ответ: одинаковые значения при любых значениях букв принимают выражения в) $m - (a + n)$ и г) $m - a - n$.

1 Сравните числа:

а) 25 и 35

б) 78 и 38

в) 39 и 0

г) 101130 и 1

a) Для сравнения дробей $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{5}$ необходимо обратить внимание на их знаменатели. В данном случае знаменатели одинаковы и равны 5. Согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, большей является та дробь, у которой числитель больше. Сравниваем числители: $2 < 3$. Таким образом, дробь $\frac{2}{5}$ меньше, чем дробь $\frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{3}{5}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{3}{8}$ имеют одинаковый знаменатель, равный 8. Поэтому для сравнения достаточно сравнить их числители. Сравниваем числители: $7 > 3$. Следовательно, дробь $\frac{7}{8}$ больше, чем дробь $\frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8} > \frac{3}{8}$.

в) Для сравнения дроби $\frac{3}{9}$ и числа 0, определим знак дроби. Так как и числитель (3), и знаменатель (9) являются положительными числами, то и сама дробь $\frac{3}{9}$ является положительным числом. Любое положительное число всегда больше нуля. Следовательно, $\frac{3}{9} > 0$.

Ответ: $\frac{3}{9} > 0$.

г) Чтобы сравнить дробь с единицей, нужно сравнить ее числитель и знаменатель. Если числитель меньше знаменателя, то дробь (называемая правильной) меньше 1. В дроби $\frac{101}{130}$ числитель $101$ меньше знаменателя $130$. Следовательно, эта дробь меньше 1. Другой способ — представить 1 в виде дроби с тем же знаменателем: $1 = \frac{130}{130}$. Теперь сравним дроби $\frac{101}{130}$ и $\frac{130}{130}$. Так как $101 < 130$, то $\frac{101}{130} < \frac{130}{130}$, а значит $\frac{101}{130} < 1$.

Ответ: $\frac{101}{130} < 1$.

2 Запишите дробь, большую 1015

Чтобы найти дробь, которая больше, чем дробь $\frac{10}{15}$, можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Использование того же знаменателя
Самый простой метод — это взять дробь с таким же знаменателем, как у исходной (то есть 15), но с большим числителем. При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
Возьмем числитель 11, так как $11 > 10$. Получим дробь $\frac{11}{15}$.
Сравним полученную дробь с исходной: $\frac{11}{15} > \frac{10}{15}$, так как их знаменатели равны, а числитель $11 > 10$.

Способ 2: Упрощение дроби
Другой метод — сначала упростить (сократить) исходную дробь. И числитель 10, и знаменатель 15 делятся на их наибольший общий делитель, равный 5:
$\frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$
Теперь нужно найти любую дробь, которая больше $\frac{2}{3}$. Например, можно взять дробь $\frac{3}{4}$. Чтобы сравнить $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$, приведем их к общему знаменателю 12:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
Поскольку $9 > 8$, то $\frac{9}{12} > \frac{8}{12}$, следовательно, $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$.

Оба способа дают верный результат. В качестве ответа можно указать любую дробь, которая больше $\frac{10}{15}$ (или $\frac{2}{3}$), например $\frac{11}{15}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$ и так далее.

Ответ: $\frac{11}{15}$

3 На координатной прямой с единичным отрезком, равным 16 клеткам, отметьте точки с координатами:

$A\left(\frac{1}{16}\right),$ $B\left(\frac{3}{16}\right),$ $C\left(\frac{4}{16}\right),$ $D\left(\frac{8}{16}\right),$ $N\left(\frac{1}{4}\right),$ $F\left(\frac{1}{2}\right),$ $M\left(\frac{12}{16}\right),$ $P\left(\frac{16}{16}\right).$

Какие точки:

а) лежат левее точки D;

б) лежат правее точки N;

в) совпадают;

г) лежат между точками F и Р?

Н3

A         B    C  N         F  D    M      P

$0\frac{1}{16}\frac{3}{16}\frac{4}{16}\frac{8}{16}\frac{12}{16}1$

$\frac{1}{4}\frac{1}{2}\frac{16}{16}$

Чтобы отметить точку N $\left(\frac{1}{4}\right)$, нужно

$16 : 4 = 4\text{(кл.)}$ отсчитать от нуля.

Чтобы отметить точку F $\left(\frac{1}{2}\right)$, нужно

$16 : 2 = 8\text{(кл.)}$ отсчитать от нуля.

а) Левее точки D лежат точки: А, В, С, N

б) Правее точки N лежат точки: D, F, M, P

в) Совпадают точки С и N; D и F

г) Лежит между точками F и P точка: М.

Для решения задачи сначала приведем координаты всех точек к общему знаменателю 16, чтобы их было легко сравнивать. Учитывая, что единичный отрезок равен 16 клеткам, координата вида $\frac{k}{16}$ означает, что точка расположена на расстоянии $k$ клеток от начала координат (точки 0).

$A(\frac{1}{16})$ — находится на 1-й клетке.
$B(\frac{3}{16})$ — находится на 3-й клетке.
$C(\frac{4}{16})$ — находится на 4-й клетке.
$D(\frac{8}{16})$ — находится на 8-й клетке.
$N(\frac{1}{4}) = N(\frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4}) = N(\frac{4}{16})$ — находится на 4-й клетке.
$F(\frac{1}{2}) = F(\frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 8}) = F(\frac{8}{16})$ — находится на 8-й клетке.
$M(\frac{12}{16})$ — находится на 12-й клетке.
$P(\frac{16}{16}) = P(1)$ — находится на 16-й клетке.

Теперь ответим на поставленные вопросы.

а) лежат левее точки D;
Точка D имеет координату $\frac{8}{16}$. Точки, лежащие левее, имеют меньшую координату. Будем искать точки с координатой меньше $\frac{8}{16}$.
Это точки $A(\frac{1}{16})$, $B(\frac{3}{16})$, $C(\frac{4}{16})$ и $N(\frac{4}{16})$, так как $\frac{1}{16} < \frac{8}{16}$, $\frac{3}{16} < \frac{8}{16}$ и $\frac{4}{16} < \frac{8}{16}$.
Ответ: $A, B, C, N$.

б) лежат правее точки N;
Точка N имеет координату $\frac{1}{4} = \frac{4}{16}$. Точки, лежащие правее, имеют большую координату. Будем искать точки с координатой больше $\frac{4}{16}$.
Это точки $D(\frac{8}{16})$, $F(\frac{8}{16})$, $M(\frac{12}{16})$ и $P(\frac{16}{16})$, так как их координаты больше $\frac{4}{16}$.
Ответ: $D, F, M, P$.

в) совпадают;
Совпадающие точки имеют равные координаты. После приведения всех координат к знаменателю 16, мы видим:
$C(\frac{4}{16})$ и $N(\frac{1}{4} = \frac{4}{16})$. Координаты равны, значит, точки C и N совпадают.
$D(\frac{8}{16})$ и $F(\frac{1}{2} = \frac{8}{16})$. Координаты равны, значит, точки D и F совпадают.
Ответ: $C$ и $N$; $D$ и $F$.

г) лежат между точками F и P?
Точка F имеет координату $\frac{1}{2} = \frac{8}{16}$. Точка P имеет координату $\frac{16}{16}$. Точка лежит между F и P, если ее координата $x$ удовлетворяет строгому неравенству $\frac{8}{16} < x < \frac{16}{16}$.
Проверяем все точки. Этому условию удовлетворяет только точка $M(\frac{12}{16})$, так как $\frac{8}{16} < \frac{12}{16} < \frac{16}{16}$.
Ответ: $M$.

4 Сколько минут в половине часа; трети часа; четверти часа?

Для решения этой задачи нужно знать основное соотношение единиц времени: в одном часе содержится 60 минут. Чтобы найти, сколько минут в определенной доле часа, нужно 60 минут умножить на эту долю (дробь).

в половине часа

Половина часа — это одна вторая ($1/2$) часть часа. Чтобы найти количество минут, умножим 60 минут на $1/2$.

$60 \text{ мин} \times \frac{1}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ мин}$

Ответ: 30 минут.

в трети часа

Треть часа — это одна третья ($1/3$) часть часа. Чтобы найти количество минут, умножим 60 минут на $1/3$.

$60 \text{ мин} \times \frac{1}{3} = \frac{60}{3} = 20 \text{ мин}$

Ответ: 20 минут.

в четверти часа

Четверть часа — это одна четвертая ($1/4$) часть часа. Чтобы найти количество минут, умножим 60 минут на $1/4$.

$60 \text{ мин} \times \frac{1}{4} = \frac{60}{4} = 15 \text{ мин}$

Ответ: 15 минут.