Страница 20, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.67 Прочитайте числа: 241; 802; 50 024; 490 220; 700 243; 9 999 999.

241 - двести сорок один;

802 - восемьсот два;

50 024 - пятьдесят тысяч двадцать четыре;

490 220 - четыреста девяносто тысяч двести двадцать;

700 243 - семьсот тысяч двести сорок три;

9 999 999 - девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять.

Чтобы правильно прочитать многозначные числа, их условно разбивают на классы (группы по три цифры) справа налево. Первый класс справа — класс единиц, второй — класс тысяч, третий — класс миллионов, и так далее. Числа читают слева направо, поочередно называя количество единиц каждого класса и добавляя название класса. Название класса единиц при чтении опускают.

241

Число $241$ находится в классе единиц. Оно состоит из $2$ сотен, $4$ десятков и $1$ единицы. Читается: двести сорок один.

Ответ: двести сорок один.

802

Число $802$ находится в классе единиц. Оно состоит из $8$ сотен и $2$ единиц. Читается: восемьсот два.

Ответ: восемьсот два.

50 024

Число $50 \ 024$ разбивается на два класса: $50$ единиц в классе тысяч и $24$ единицы в классе единиц. Читается: пятьдесят тысяч двадцать четыре.

Ответ: пятьдесят тысяч двадцать четыре.

490 220

Число $490 \ 220$ разбивается на два класса: $490$ единиц в классе тысяч и $220$ единиц в классе единиц. Читается: четыреста девяносто тысяч двести двадцать.

Ответ: четыреста девяносто тысяч двести двадцать.

700 243

Число $700 \ 243$ разбивается на два класса: $700$ единиц в классе тысяч и $243$ единицы в классе единиц. Читается: семьсот тысяч двести сорок три.

Ответ: семьсот тысяч двести сорок три.

9 999 999

Число $9 \ 999 \ 999$ разбивается на три класса: $9$ единиц в классе миллионов, $999$ единиц в классе тысяч и $999$ единиц в классе единиц. Читается: девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять.

Ответ: девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять.

1.68 Представьте в десятичной записи число:

а) двадцать два миллиона три тысячи восемь;

б) двадцать восемь миллионов пятнадцать тысяч триста два;

в) пятьсот семь миллионов восемьдесят тысяч;

г) один миллиард десять миллионов девять тысяч;

д) четыреста двадцать три миллиарда триста сорок миллионов шестьсот тысяч девятьсот восемьдесят;

е) пятьдесят два миллиарда восемь тысяч двенадцать;

ж) семьсот семьдесят семь миллиардов шестьдесят восемь тысяч.

а) 22 003 008;

б) 28 015 302;

в) 507 080 000;

г) 1 010 009 000;

д) 423 340 600 980;

е) 52 000 008 012;

ж) 777 000 068 000.

а) Чтобы записать число "двадцать два миллиона три тысячи восемь" цифрами, необходимо разложить его по классам. Число состоит из 22 миллионов, 3 тысяч и 8 единиц.
Класс миллионов: 22.
Класс тысяч: 3, записывается как 003, так как в классе должно быть три цифры.
Класс единиц: 8, записывается как 008.
Соединяем все части вместе, получаем: $22 \: 003 \: 008$.
Ответ: $22 \: 003 \: 008$.

б) Число "двадцать восемь миллионов пятнадцать тысяч триста два" состоит из следующих частей:
Класс миллионов: 28.
Класс тысяч: 15, записывается как 015.
Класс единиц: 302.
Записываем число целиком: $28 \: 015 \: 302$.
Ответ: $28 \: 015 \: 302$.

в) Число "пятьсот семь миллионов восемьдесят тысяч" раскладывается на классы:
Класс миллионов: 507.
Класс тысяч: 80, записывается как 080.
Класс единиц: отсутствует, поэтому записывается как 000.
В итоге получаем число: $507 \: 080 \: 000$.
Ответ: $507 \: 080 \: 000$.

г) Число "один миллиард десять миллионов девять тысяч" состоит из:
Класс миллиардов: 1.
Класс миллионов: 10, записывается как 010.
Класс тысяч: 9, записывается как 009.
Класс единиц: отсутствует, то есть 000.
Соединяем все классы: $1 \: 010 \: 009 \: 000$.
Ответ: $1 \: 010 \: 009 \: 000$.

д) Число "четыреста двадцать три миллиарда триста сорок миллионов шестьсот тысяч девятьсот восемьдесят" представим в виде классов:
Класс миллиардов: 423.
Класс миллионов: 340.
Класс тысяч: 600.
Класс единиц: 980.
Записываем число целиком: $423 \: 340 \: 600 \: 980$.
Ответ: $423 \: 340 \: 600 \: 980$.

е) Число "пятьдесят два миллиарда восемь тысяч двенадцать" состоит из следующих частей:
Класс миллиардов: 52.
Класс миллионов: отсутствует, записывается как 000.
Класс тысяч: 8, записывается как 008.
Класс единиц: 12, записывается как 012.
Получаем число: $52 \: 000 \: 008 \: 012$.
Ответ: $52 \: 000 \: 008 \: 012$.

ж) Число "семьсот семьдесят семь миллиардов шестьдесят восемь тысяч" разложим на классы:
Класс миллиардов: 777.
Класс миллионов: отсутствует, то есть 000.
Класс тысяч: 68, записывается как 068.
Класс единиц: отсутствует, то есть 000.
Итоговое число: $777 \: 000 \: 068 \: 000$.
Ответ: $777 \: 000 \: 068 \: 000$.

1.69 Вычислите.

а)

$7 + 9 = 16$
Ответ: 16

$14 + 8 = 22$
Ответ: 22

$28 + 7 = 35$
Ответ: 35

$16 + 5 = 21$
Ответ: 21

$43 + 0 = 43$
Ответ: 43

б)

$14 - 6 = 8$
Ответ: 8

$17 - 9 = 8$
Ответ: 8

$13 - 7 = 6$
Ответ: 6

$16 - 8 = 8$
Ответ: 8

$32 - 0 = 32$
Ответ: 32

в)

$6 \cdot 7 = 42$
Ответ: 42

$9 \cdot 4 = 36$
Ответ: 36

$8 \cdot 8 = 64$
Ответ: 64

$5 \cdot 9 = 45$
Ответ: 45

$9 \cdot 6 = 54$
Ответ: 54

г)

$72 : 9 = 8$
Ответ: 8

$48 : 6 = 8$
Ответ: 8

$56 : 7 = 8$
Ответ: 8

$81 : 9 = 9$
Ответ: 9

$40 : 8 = 5$
Ответ: 5

1.70 Используя образец, вычислите:

а) 98 + 49 = (100 - 2) + (50 - 1) = 150 - 3 = 147;

б) 497 + 445 = (497 + 3) + 442 = 500 + 442 = 942,
497 + 445 = (500 - 3) + (450 - 5) = (500 + 450) - 8 = 950 - 8 = 942;

в) 338 + 46 = (340 - 2) + (50 - 4) = (340 + 50) - 6 = 390 - 6 =384,
338 + 46 = 338 + 2 + 44 = 340 + 44 = 384.

а) 98 + 49

Для вычисления данной суммы воспользуемся методом, показанным в образце. Этот метод заключается в дополнении одного из слагаемых до круглого числа за счет другого слагаемого. Числу 98 не хватает 2, чтобы стать 100. Возьмем эту двойку из второго слагаемого, 49.

Представим число 49 в виде суммы $2 + 47$.

Тогда исходное выражение примет вид:

$98 + 49 = 98 + (2 + 47)$

Используя сочетательное свойство сложения, сгруппируем слагаемые для удобства вычисления:

$(98 + 2) + 47 = 100 + 47 = 147$

Ответ: 147

б) 497 + 445

Чтобы вычислить эту сумму, дополним первое слагаемое, 497, до ближайшего круглого числа — 500. Для этого нужно прибавить 3. Возьмем 3 из второго слагаемого, 445.

Представим число 445 в виде суммы $3 + 442$.

Теперь выражение выглядит так:

$497 + 445 = 497 + (3 + 442)$

Сгруппируем первые два слагаемых:

$(497 + 3) + 442 = 500 + 442 = 942$

Ответ: 942

в) 338 + 46

Для вычисления суммы $338 + 46$ дополним первое слагаемое до числа, оканчивающегося на ноль. Ближайшее такое число — 340. Для этого к 338 нужно прибавить 2. Возьмем 2 из второго слагаемого, 46.

Представим число 46 в виде суммы $2 + 44$.

Подставим это в исходное выражение:

$338 + 46 = 338 + (2 + 44)$

Сгруппируем слагаемые:

$(338 + 2) + 44 = 340 + 44 = 384$

Ответ: 384

1.71 Найдите число в последней клетке цепочки.

а)

Для того чтобы найти число в последней клетке, необходимо последовательно выполнить все указанные арифметические операции, начиная с числа в первой клетке.

1. Первое действие — деление: $63 : 9 = 7$.

2. Второе действие — сложение: $7 + 23 = 30$.

3. Третье действие — деление: $30 : 6 = 5$.

4. Четвертое действие — умножение: $5 \cdot 7 = 35$.

5. Пятое действие — сложение: $35 + 15 = 50$.

Таким образом, число в последней клетке цепочки равно 50.

Ответ: 50

б)

Выполним последовательно все операции во второй цепочке, начиная с числа 72.

1. Делим 72 на 9: $72 : 9 = 8$.

2. К результату прибавляем 12: $8 + 12 = 20$.

3. Полученное число умножаем на 5: $20 \cdot 5 = 100$.

4. Результат делим на 10: $100 : 10 = 10$.

5. К полученному числу прибавляем 18: $10 + 18 = 28$.

Число в последней клетке этой цепочки равно 28.

Ответ: 28

в)

Вычислим значение для третьей цепочки, начальное число в которой равно 42.

1. Делим 42 на 7: $42 : 7 = 6$.

2. Результат умножаем на 9: $6 \cdot 9 = 54$.

3. К полученному числу прибавляем 6: $54 + 6 = 60$.

4. Результат делим на 10: $60 : 10 = 6$.

5. К полученному числу прибавляем 24: $6 + 24 = 30$.

Число в последней клетке этой цепочки равно 30.

Ответ: 30

г)

Найдем число в последней клетке четвертой цепочки, которая начинается с числа 54.

1. Делим 54 на 9: $54 : 9 = 6$.

2. Результат умножаем на 8: $6 \cdot 8 = 48$.

3. К полученному числу прибавляем 2: $48 + 2 = 50$.

4. Результат делим на 5: $50 : 5 = 10$.

5. К полученному числу прибавляем 90: $10 + 90 = 100$.

Число в последней клетке этой цепочки равно 100.

Ответ: 100

1.72 Какие математические знания вам могут потребоваться:

а) в магазине;

б) на спортивной площадке?

а) Сложение, вычитание, умножение, деление;

б) растояние между точками, периметр, длина отрезка, единицы длины.

а) в магазине В магазине математические знания необходимы постоянно. Во-первых, для подсчета итоговой стоимости покупок, что требует умения складывать цены различных товаров. Если вы берете несколько одинаковых товаров, понадобится умножение. Например, стоимость 4 йогуртов по 52 рубля составит $4 \times 52 = 208$ рублей. Во-вторых, чтобы проверить сдачу, нужно уметь вычитать. Если общая сумма покупки 450 рублей, а вы даете купюру в 1000 рублей, сдача должна быть $1000 - 450 = 550$ рублей. В-третьих, для расчета скидок и выгоды от акций нужны проценты. Если на товар стоимостью 800 рублей скидка 25%, то выгода составит $800 \times \frac{25}{100} = 200$ рублей, а новая цена будет $800 - 200 = 600$ рублей. В-четвертых, чтобы выбрать самый выгодный товар, часто нужно рассчитать его удельную стоимость (цену за килограмм, литр или штуку), что требует деления. Например, сравнить упаковку стирального порошка весом 2.4 кг за 480 рублей ($480 / 2.4 = 200$ руб/кг) и упаковку весом 3 кг за 570 рублей ($570 / 3 = 190$ руб/кг), чтобы понять, что второй вариант выгоднее. Также важно ориентироваться в мерах веса (граммы, килограммы) и объема (миллилитры, литры).
Ответ: В магазине потребуются навыки сложения, вычитания, умножения, деления, умение работать с процентами и единицами измерения (вес, объем).

б) на спортивной площадке На спортивной площадке математика также играет важную роль. Для ведения счета в командных играх (баскетбол, волейбол, футбол) необходим простой счет и сложение. Для измерения расстояний, например, в прыжках в длину или при метании копья, а также для разметки поля, используются знания геометрии и единиц измерения длины (метры, сантиметры). Для расчета скорости спортсмена используется формула $v = \frac{S}{t}$ (скорость равна расстоянию, деленному на время). Например, если легкоатлет пробежал 100 метров за 12.5 секунд, его средняя скорость была $v = \frac{100 \text{ м}}{12.5 \text{ с}} = 8$ м/с. Геометрия важна для понимания траектории полета мяча или снаряда, расчета углов для точного удара или броска. Кроме того, математика используется для сбора и анализа статистики: подсчет среднего числа забитых голов, процента точных передач или попаданий со штрафной линии. Если игрок реализовал 7 из 10 штрафных бросков, его процент попаданий равен $\frac{7}{10} \times 100\% = 70\%$. Хронометраж и расчет времени круга или всей дистанции — это тоже математическая задача.
Ответ: На спортивной площадке нужны арифметика для подсчета очков, геометрия для измерения расстояний и углов, алгебра для расчета скорости и ведение статистики (средние значения, проценты).

1.73 Запишите все двузначные числа, которые можно записать с помощью цифр:

а) 4 и 0;

б) 5, 4 и 0;

в) 4 и 9.

а) 40; 44;

б) 55; 54; 50; 44; 45; 40;

в) 44; 49; 94; 99.

а) 4 и 0;

Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц. Важное правило: цифра десятков не может быть нулем.
В данном случае у нас есть цифры $4$ и $0$.
1. На место первой цифры (десятков) мы можем поставить только $4$, так как $0$ не подходит.
2. На место второй цифры (единиц) мы можем поставить любую из данных цифр: $4$ или $0$.
Комбинируя возможные варианты, получаем числа:
- Первая цифра $4$, вторая цифра $4$ > $44$.
- Первая цифра $4$, вторая цифра $0$ > $40$.

Ответ: $40, 44$.

б) 5, 4 и 0;

Используем цифры $5$, $4$ и $0$.
1. На место первой цифры (десятков) можно поставить $5$ или $4$. Цифру $0$ использовать нельзя.
2. На место второй цифры (единиц) можно поставить любую из трех данных цифр: $5, 4$ или $0$.
Рассмотрим все возможные комбинации:
- Если первая цифра $5$, то вторая может быть $5, 4$ или $0$. Получаем числа: $55, 54, 50$.
- Если первая цифра $4$, то вторая может быть $5, 4$ или $0$. Получаем числа: $45, 44, 40$.

Ответ: $40, 44, 45, 50, 54, 55$.

в) 4 и 9.

Используем цифры $4$ и $9$.
1. На место первой цифры (десятков) можно поставить любую из данных цифр, так как ни одна из них не является нулем. Это могут быть $4$ или $9$.
2. На место второй цифры (единиц) также можно поставить любую из данных цифр: $4$ или $9$.
Рассмотрим все возможные комбинации:
- Если первая цифра $4$, то вторая может быть $4$ или $9$. Получаем числа: $44, 49$.
- Если первая цифра $9$, то вторая может быть $4$ или $9$. Получаем числа: $94, 99$.

Ответ: $44, 49, 94, 99$.

1.74 Из цифр 2, 4, 6 составили все возможные трёхзначные числа, цифры в записи которых не повторялись.

а) Сколько таких трёхзначных чисел можно составить из этих цифр?

б) Какое наибольшее и какое наименьшее числа составлены?

а) 246; 264; 426; 426; 624; 642.

Можно можно составить 6 трёхзначных чисел.

а) Для нахождения количества возможных трёхзначных чисел, составленных из цифр 2, 4, 6 без повторений, мы используем комбинаторное правило произведения.
На позицию сотен мы можем выбрать любую из трёх цифр (2, 4 или 6). Это даёт нам 3 варианта.
После того как мы выбрали цифру для сотен, для позиции десятков остаётся 2 неиспользованные цифры. Это даёт нам 2 варианта.
Для позиции единиц остаётся только 1 последняя цифра, то есть 1 вариант.
Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$3 \times 2 \times 1 = 6$
Это также можно рассчитать как количество перестановок из 3 элементов, которое равно $P_3 = 3! = 6$.
Вот все возможные числа: 246, 264, 426, 462, 624, 642.
Ответ: 6.

б) Чтобы определить наибольшее и наименьшее из этих чисел, нужно расположить цифры 2, 4, 6 в определённом порядке.
Для получения наибольшего числа, мы должны расположить цифры в порядке убывания: 6, 4, 2. Таким образом, самое большое число — 642.
Для получения наименьшего числа, мы должны расположить цифры в порядке возрастания: 2, 4, 6. Таким образом, самое маленькое число — 246.
Ответ: наибольшее число — 642, наименьшее число — 246.

1.75 Расстояние от Урана до Солнца равно 2735 млн км. Марс ближе на 2528 млн км к Солнцу. Сатурн дальше на 1143 млн км, чем Марс. На сколько километров расстояние от Солнца до Урана больше расстояния от Сатурна до Солнца?

1) 2735 - 2528 = 207 (млн км) - расстояние от Марса до Солнца.

2) 207 + 1143 = 1350 (млн км) - расстояние от Сатурна до Солнца.

3) 2735 - 1350 = 1385 (млн км)

Ответ: на 1385 млн км.

Для решения задачи выполним действия по порядку.

Сначала найдем расстояние от Марса до Солнца. Из условия известно, что расстояние от Урана до Солнца равно 2735 млн км, а Марс находится на 2528 млн км ближе к Солнцу. Следовательно, расстояние от Марса до Солнца составляет:

$2735 \text{ млн км} - 2528 \text{ млн км} = 207 \text{ млн км}$

Далее, найдем расстояние от Сатурна до Солнца. В условии сказано, что Сатурн на 1143 млн км дальше от Солнца, чем Марс. Значит, расстояние от Сатурна до Солнца равно сумме расстояния от Марса до Солнца и этой разницы:

$207 \text{ млн км} + 1143 \text{ млн км} = 1350 \text{ млн км}$

Теперь мы можем ответить на главный вопрос задачи: на сколько километров расстояние от Солнца до Урана больше расстояния от Сатурна до Солнца. Для этого вычтем из расстояния до Урана расстояние до Сатурна:

$2735 \text{ млн км} - 1350 \text{ млн км} = 1385 \text{ млн км}$

Таким образом, расстояние от Солнца до Урана больше расстояния от Сатурна до Солнца на 1385 миллионов километров.

Ответ: на 1385 млн км.

1.76 Велосипедист за 5 ч проехал 60 км. Сколько времени ему потребуется, чтобы с той же скоростью проехать 48 км?

1) 60 : 5 = 12 (км/ч) - скорость велосипедиста

2) 48 : 12 = 4 (ч)

Ответ: 4 часа

Для решения этой задачи сначала необходимо найти скорость велосипедиста, так как по условию она постоянна. Скорость вычисляется как отношение пройденного расстояния ко времени.

1. Найдем скорость велосипедиста ($v$).
Известно, что он проехал расстояние $s_1 = 60$ км за время $t_1 = 5$ часов.
Формула скорости: $v = \frac{s}{t}$
$v = \frac{60 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 12$ км/ч.

2. Теперь, зная скорость, найдем время ($t_2$), которое потребуется для преодоления расстояния $s_2 = 48$ км.
Формула для нахождения времени: $t = \frac{s}{v}$
$t_2 = \frac{48 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.

1 Запишите дробь:

а) девять одиннадцатых;

б) тридцать две шестьдесят первых;

в) сто двухсотых;

г) три четверти.

а) Чтобы записать дробь «девять одиннадцатых», нужно понять, какое число является числителем, а какое — знаменателем. Число, стоящее в именительном падеже («девять»), является числителем и записывается над чертой дроби. Число, от которого образовано название долей («одиннадцатых», от «одиннадцать»), является знаменателем и записывается под чертой дроби. Таким образом, числитель равен 9, а знаменатель равен 11.
Ответ: $ \frac{9}{11} $

б) В дроби «тридцать две шестьдесят первых» числителем является число «тридцать две» (32), а знаменателем — число «шестьдесят один» (61). Числитель — это количество взятых долей, а знаменатель — общее количество долей, на которые разделено целое.
Ответ: $ \frac{32}{61} $

в) В дроби «сто двухсотых» числитель — это «сто» (100), а знаменатель — «двести» (200). Записываем числитель над чертой, а знаменатель — под чертой. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 100. Получим: $ \frac{100 \div 100}{200 \div 100} = \frac{1}{2} $. Однако, дословно следуя заданию, мы запишем исходную дробь.
Ответ: $ \frac{100}{200} $

г) В дроби «три четверти» числителем является число «три» (3), а знаменателем — число «четыре» (4). Это одна из наиболее часто встречающихся дробей.
Ответ: $ \frac{3}{4} $

2 Какую часть часа составляют 7 минут?

Чтобы определить, какую часть часа составляют 7 минут, необходимо выразить обе величины в одинаковых единицах измерения и составить отношение.

1. Сначала вспомним, сколько минут в одном часе. В одном часе 60 минут.

$1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$

2. Теперь нам нужно найти, какую долю от 60 минут составляют 7 минут. Для этого нужно составить дробь, где в числителе будет интересующая нас величина (7 минут), а в знаменателе — целая величина, с которой мы сравниваем (60 минут).

Искомая часть = $\frac{7 \text{ минут}}{60 \text{ минут}}$

3. Получаем дробь:

$\frac{7}{60}$

Эта дробь является несократимой, так как у числителя (7) и знаменателя (60) нет общих делителей, кроме единицы.

Таким образом, 7 минут составляют $\frac{7}{60}$ часа.

Ответ: $\frac{7}{60}$

3 На бант израсходовали 60 см ленты. Какова длина всей ленты, если на бант израсходовали шестую часть ленты?

Согласно условию, 60 см ленты, которые пошли на бант, — это одна шестая часть всей ленты. Это можно записать в виде дроби $ \frac{1}{6} $.

Чтобы найти общую длину ленты (целое), зная ее часть, нужно эту часть (60 см) умножить на знаменатель дроби (6).

Выполним математическое действие:
$ 60 \text{ см} \times 6 = 360 \text{ см} $

Следовательно, первоначальная длина всей ленты была 360 см.

Ответ: 360 см.

4 Бревно длиной 3 м распилили на 5 равных частей. Какова длина каждой части бревна? Запишите ответ в метрах; сантиметрах.

в метрах

Чтобы найти длину каждой части в метрах, необходимо общую длину бревна разделить на количество частей, на которые его распилили.

Общая длина бревна составляет $3$ метра, а количество частей — $5$.

Выполним деление: $3 \div 5 = \frac{3}{5} = 0,6$ м.

Ответ: $0,6$ м.

в сантиметрах

Чтобы найти длину каждой части в сантиметрах, сначала переведем общую длину бревна в сантиметры. В одном метре $100$ сантиметров.

$3 \text{ м} = 3 \times 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$.

Теперь разделим полученную общую длину в сантиметрах на количество частей:

$300 \text{ см} \div 5 = 60 \text{ см}$.

Ответ: $60$ см.

5 Какая часть фигуры на рисунке 5.25 закрашена?

а

Фигура разделена на 5 равных частей. Две из пяти частей закрашены. Следовательно, закрашенная часть составляет $\frac{2}{5}$ от всей фигуры.

Ответ: $\frac{2}{5}$

б

Фигура разделена на 4 равные части. Одна из четырех частей закрашена. Следовательно, закрашенная часть составляет $\frac{1}{4}$ от всей фигуры.

Ответ: $\frac{1}{4}$

в

Фигура разделена на 6 равных частей. Три из шести частей закрашены. Это можно записать в виде дроби $\frac{3}{6}$. Данную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:

$\frac{3}{6} = \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$

Таким образом, закрашена половина фигуры, или $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

6 Какая часть фигуры на рисунке 5.26 не закрашена?

N6

а) $\frac{3}{12}$;

б) $\frac{12}{30}$

а

Чтобы определить, какая часть фигуры не закрашена, необходимо найти отношение количества незакрашенных частей к общему количеству частей, на которые разделена фигура.

1. Сначала посчитаем общее количество равных квадратов в фигуре. Прямоугольник состоит из 4 строк и 3 столбцов. Общее количество квадратов равно произведению количества строк на количество столбцов: $4 \times 3 = 12$ квадратов.

2. Теперь посчитаем количество незакрашенных (белых) квадратов. В фигуре не закрашена только верхняя строка, которая содержит 3 квадрата.

3. Искомая часть равна отношению числа незакрашенных квадратов к общему числу квадратов. Запишем это в виде дроби: $\frac{3}{12}$.

4. Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя 3 и знаменателя 12 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3: $\frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$.

Таким образом, $\frac{1}{4}$ часть фигуры не закрашена.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б

Действуем по тому же принципу, что и в предыдущем пункте.

1. Сначала посчитаем общее количество равных квадратов в фигуре. Квадрат состоит из 5 строк и 5 столбцов. Общее количество квадратов равно: $5 \times 5 = 25$ квадратов.

2. Теперь посчитаем количество незакрашенных (белых) квадратов, суммируя их по строкам:
- В первой строке: 3 незакрашенных квадрата.
- Во второй и третьей строках все квадраты закрашены: 0 незакрашенных квадратов.
- В четвертой строке: 2 незакрашенных квадрата.
- В пятой строке: 4 незакрашенных квадрата.
Всего незакрашенных квадратов: $3 + 0 + 0 + 2 + 4 = 9$.

3. Искомая часть равна отношению числа незакрашенных квадратов к общему числу квадратов. Запишем это в виде дроби: $\frac{9}{25}$.

4. Проверим, можно ли сократить дробь. Числитель $9 = 3 \times 3$, а знаменатель $25 = 5 \times 5$. У них нет общих делителей, кроме 1, поэтому дробь $\frac{9}{25}$ является несократимой.

Таким образом, $\frac{9}{25}$ части фигуры не закрашены.

Ответ: $\frac{9}{25}$

1 Какую часть составляет:

а) 1 мм от 1 см;

б) 1 мм² от 1 см²?

а)

Чтобы определить, какую часть 1 миллиметр (мм) составляет от 1 сантиметра (см), необходимо привести обе величины к одной единице измерения. Известно, что в одном сантиметре содержится 10 миллиметров.

$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$

Теперь, чтобы найти искомую часть, нужно разделить 1 мм на величину 1 см, выраженную в миллиметрах. Это представляет собой отношение двух величин:

$\frac{1 \text{ мм}}{1 \text{ см}} = \frac{1 \text{ мм}}{10 \text{ мм}} = \frac{1}{10}$

Следовательно, 1 мм составляет одну десятую часть от 1 см.

Ответ: $\frac{1}{10}$

б)

Чтобы определить, какую часть 1 квадратный миллиметр (мм?) составляет от 1 квадратного сантиметра (см?), также воспользуемся соотношением между миллиметрами и сантиметрами.

Мы знаем, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.

Квадратный сантиметр — это площадь квадрата со стороной 1 см. Чтобы найти, сколько квадратных миллиметров в одном квадратном сантиметре, нужно возвести это соотношение в квадрат:

$1 \text{ см}^2 = (1 \text{ см}) \times (1 \text{ см}) = (10 \text{ мм}) \times (10 \text{ мм}) = 100 \text{ мм}^2$

Таким образом, в 1 см? содержится 100 мм?.

Теперь найдем отношение 1 мм? к 1 см?, выраженному в мм?:

$\frac{1 \text{ мм}^2}{1 \text{ см}^2} = \frac{1 \text{ мм}^2}{100 \text{ мм}^2} = \frac{1}{100}$

Следовательно, 1 мм? составляет одну сотую часть от 1 см?.

Ответ: $\frac{1}{100}$

2 Готовясь к контрольной работе по математике, Миша решил 36 задач. Треть задач показались Мише лёгкими. Треть оставшихся задач он посчитал задачами среднего уровня сложности. Остальные задачи были сложными.

а) Сколько лёгких задач решил Миша?

б) Сколько сложных задач решил Миша?

в) Задач какого уровня сложности Миша решил больше всего?

г) На сколько больше сложных задач, чем задач среднего уровня сложности, решил Миша?

д) Какую часть составляют задачи среднего уровня сложности от всех решённых задач?

е) Какую часть составляют сложные задачи от всех решённых задач?

ж) Постройте столбчатую диаграмму, отражающую количество лёгких, средних и сложных задач, решённых Мишей (одна клетка тетради соответствует двум решённым задачам).

Для решения задачи сначала найдём количество задач каждого уровня сложности.
Всего Миша решил 36 задач.

а) Сколько лёгких задач решил Миша?

Лёгкие задачи составляют треть от всех решённых задач. Чтобы найти количество лёгких задач, нужно общее количество задач умножить на $\frac{1}{3}$.
$36 \cdot \frac{1}{3} = \frac{36}{3} = 12$ (задач) - лёгкие.
Ответ: Миша решил 12 лёгких задач.

б) Сколько сложных задач решил Миша?

Сначала найдём, сколько задач осталось после того, как мы посчитали лёгкие:
$36 - 12 = 24$ (задачи) - осталось.
Задачи среднего уровня сложности составляют треть от оставшихся. Найдём их количество:
$24 \cdot \frac{1}{3} = \frac{24}{3} = 8$ (задач) - среднего уровня сложности.
Остальные задачи были сложными. Чтобы найти их количество, вычтем из общего числа задач количество лёгких и средних:
$36 - 12 - 8 = 16$ (задач) - сложные.
Или можно вычесть из оставшихся задач задачи среднего уровня:
$24 - 8 = 16$ (задач) - сложные.
Ответ: Миша решил 16 сложных задач.

в) Задач какого уровня сложности Миша решил больше всего?

Сравним количество решённых задач каждого уровня сложности:
Лёгкие: 12 задач.
Средние: 8 задач.
Сложные: 16 задач.
Сравнивая числа, получаем: $16 > 12 > 8$.
Ответ: Больше всего Миша решил сложных задач.

г) На сколько больше сложных задач, чем задач среднего уровня сложности, решил Миша?

Чтобы найти разницу, вычтем из количества сложных задач количество задач среднего уровня:
$16 - 8 = 8$ (задач).
Ответ: Миша решил на 8 сложных задач больше, чем задач среднего уровня сложности.

д) Какую часть составляют задачи среднего уровня сложности от всех решённых задач?

Чтобы найти эту часть, нужно разделить количество задач среднего уровня на общее количество задач и сократить полученную дробь:
$\frac{8}{36} = \frac{8 \div 4}{36 \div 4} = \frac{2}{9}$.
Ответ: Задачи среднего уровня сложности составляют $\frac{2}{9}$ от всех решённых задач.

е) Какую часть составляют сложные задачи от всех решённых задач?

Аналогично предыдущему пункту, разделим количество сложных задач на общее количество задач:
$\frac{16}{36} = \frac{16 \div 4}{36 \div 4} = \frac{4}{9}$.
Ответ: Сложные задачи составляют $\frac{4}{9}$ от всех решённых задач.

ж) Постройте столбчатую диаграмму, отражающую количество лёгких, средних и сложных задач, решённых Мишей (одна клетка тетради соответствует двум решённым задачам).

Для построения диаграммы сначала определим высоту каждого столбца в клетках.
Лёгкие задачи: $12 \div 2 = 6$ клеток.
Средние задачи: $8 \div 2 = 4$ клетки.
Сложные задачи: $16 \div 2 = 8$ клеток.
Ниже представлена столбчатая диаграмма. По вертикальной оси отложено количество задач, по горизонтальной – уровень сложности.

Ответ: Диаграмма построена. Высота столбцов: Лёгкие - 6 клеток, Средние - 4 клетки, Сложные - 8 клеток.