Страница 19, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.48 Выразите в миллиметрах: а) 6 см 9 мм; б) 1 дм 8 см 3 мм; в) 9 см.

Образец: а) 6 см 9 мм = 60 мм + 9 мм = 69 мм.

а) 6 см 9 мм = 60 мм + 9 мм = 69 мм;

б) 1 дм 8 см 3 мм = 100 мм + 80 мм + 3 мм = 183 мм;

в) 9 см = 90 мм.

а) Чтобы выразить 6 см 9 мм в миллиметрах, необходимо перевести сантиметры в миллиметры и прибавить к ним оставшиеся миллиметры. В одном сантиметре содержится 10 миллиметров, что можно записать как $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Следовательно, для перевода 6 сантиметров в миллиметры, умножаем 6 на 10:
$6 \text{ см} = 6 \times 10 \text{ мм} = 60 \text{ мм}$.
Теперь прибавляем 9 мм к полученному результату:
$60 \text{ мм} + 9 \text{ мм} = 69 \text{ мм}$.
Ответ: 69 мм.

б) Чтобы выразить 1 дм 8 см 3 мм в миллиметрах, нужно каждую единицу измерения перевести в миллиметры, а затем сложить полученные значения.
Нам известны следующие соотношения:
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$
$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$
Из этого следует, что $1 \text{ дм} = 10 \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$.
Теперь переведем все части в миллиметры:
$1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$
$8 \text{ см} = 8 \times 10 \text{ мм} = 80 \text{ мм}$
Остается 3 мм.
Сложим все значения вместе:
$100 \text{ мм} + 80 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 183 \text{ мм}$.
Ответ: 183 мм.

в) Чтобы выразить 9 см в миллиметрах, нужно умножить значение в сантиметрах на 10, так как $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Выполним вычисление:
$9 \text{ см} = 9 \times 10 \text{ мм} = 90 \text{ мм}$.
Ответ: 90 мм.

1.49 Выразите в сантиметрах и миллиметрах: а) 52 мм; б) 308 мм.

Образец: а) 52 мм = 50 мм + 2 мм = 5 см 2 мм.

а) 52 мм = 50 мм + 2 мм = 5 см 2 мм;

б) 308 мм = 300 мм + 8 мм = 30 см 8 мм.

а) Чтобы выразить 52 миллиметра (мм) в сантиметрах (см) и миллиметрах, необходимо знать, что в одном сантиметре содержится 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$. Разделим 52 на 10. Целая часть от деления будет соответствовать количеству сантиметров, а остаток — количеству миллиметров. $52 \div 10 = 5$ (остаток $2$). Это значит, что в 52 мм содержится 5 полных сантиметров и еще 2 миллиметра. Можно записать это так: $52 \text{ мм} = 50 \text{ мм} + 2 \text{ мм} = (5 \times 10) \text{ мм} + 2 \text{ мм} = 5 \text{ см } 2 \text{ мм}$.
Ответ: 5 см 2 мм.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем соотношение $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$ для перевода 308 мм. Разделим 308 на 10. Целая часть от деления — это сантиметры, остаток — миллиметры. $308 \div 10 = 30$ (остаток $8$). Следовательно, 308 мм равны 30 сантиметрам и 8 миллиметрам. Запишем вычисления: $308 \text{ мм} = 300 \text{ мм} + 8 \text{ мм} = (30 \times 10) \text{ мм} + 8 \text{ мм} = 30 \text{ см } 8 \text{ мм}$.
Ответ: 30 см 8 мм.

1.50 Выразите в сантиметрах: а) 3 дм 6 см; б) 4 дм 1 см; в) 12 м 7 см.

а) 3 дм 6 см = 3 дм + 6 см = 30 см + 6 см = 36 см;

б) 4 дм 1 см = 1 дм + 1 см = 40 см + 1 см = 41 см;

в) 12 м 7 см = 12 м + 7 см = 1200 см + 7 см = 1207 см

Для решения этой задачи необходимо выразить данные величины в сантиметрах, используя следующие соотношения:

1 дециметр (дм) равен 10 сантиметрам (см): $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

1 метр (м) равен 100 сантиметрам (см): $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

а) Выразим 3 дм 6 см в сантиметрах.

Сначала переведем дециметры в сантиметры, умножив их количество на 10:

$3 \text{ дм} = 3 \times 10 \text{ см} = 30 \text{ см}$.

Затем к полученному значению прибавим оставшиеся сантиметры:

$30 \text{ см} + 6 \text{ см} = 36 \text{ см}$.

Ответ: 36 см.

б) Выразим 4 дм 1 см в сантиметрах.

Действуем аналогично: переводим дециметры в сантиметры.

$4 \text{ дм} = 4 \times 10 \text{ см} = 40 \text{ см}$.

Прибавляем 1 см к результату:

$40 \text{ см} + 1 \text{ см} = 41 \text{ см}$.

Ответ: 41 см.

в) Выразим 12 м 7 см в сантиметрах.

В этом случае переводим метры в сантиметры, умножив их количество на 100:

$12 \text{ м} = 12 \times 100 \text{ см} = 1200 \text{ см}$.

Теперь прибавляем оставшиеся 7 см:

$1200 \text{ см} + 7 \text{ см} = 1207 \text{ см}$.

Ответ: 1207 см.

1.51 Выразите в дециметрах и сантиметрах: а) 27 см; б) 501 см; в) 45 см.

а) 27 см = 20 см + 7 см = 2 дм 7 см;

б) 501 см = 500 см + 1 см = 50 дм 1 см;

в) 45 см = 40 см + 5 см = 4 дм 5 см.

Чтобы выразить длину, данную в сантиметрах (см), в дециметрах (дм) и сантиметрах, нужно использовать соотношение: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$. Для этого необходимо разделить исходное число сантиметров на 10. Целая часть от деления покажет количество полных дециметров, а остаток от деления — оставшееся количество сантиметров.

а) 27 см
Делим 27 на 10, чтобы найти количество полных дециметров:
$27 \div 10 = 2$ (остаток $7$).
Таким образом, в 27 см содержится 2 полных дециметра и 7 сантиметров.
$27 \text{ см} = 2 \text{ дм } 7 \text{ см}$.
Ответ: 2 дм 7 см.

б) 501 см
Делим 501 на 10:
$501 \div 10 = 50$ (остаток $1$).
Следовательно, в 501 см содержится 50 полных дециметров и 1 сантиметр.
$501 \text{ см} = 50 \text{ дм } 1 \text{ см}$.
Ответ: 50 дм 1 см.

в) 45 см
Делим 45 на 10:
$45 \div 10 = 4$ (остаток $5$).
Это означает, что в 45 см содержится 4 полных дециметра и 5 сантиметров.
$45 \text{ см} = 4 \text{ дм } 5 \text{ см}$.
Ответ: 4 дм 5 см.

1.52 Выразите в метрах: а) 7 км 700 м; б) 3 км 4 м; в) 6 км 20 м.

а) 7 км 700 м = 7 км + 700 м = 7000 м + 700 м = 7700 м;

б) 3 км 4 м = 3 км + 4 м = 3000 м + 4 м = 3004 м;

в) 6 км 20 м = 6 км + 20 м = 6000 м + 20 м = 6020 м.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить соотношение между километрами (км) и метрами (м). В одном километре содержится 1000 метров:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Чтобы выразить заданные значения в метрах, нужно количество километров умножить на 1000 и прибавить к результату количество метров.

а) 7 км 700 м

Сначала переведем километры в метры:

$7 \text{ км} = 7 \times 1000 \text{ м} = 7000 \text{ м}$

Затем прибавим оставшиеся 700 метров:

$7000 \text{ м} + 700 \text{ м} = 7700 \text{ м}$

Ответ: 7700 м.

б) 3 км 4 м

Переведем километры в метры:

$3 \text{ км} = 3 \times 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$

Прибавим оставшиеся 4 метра:

$3000 \text{ м} + 4 \text{ м} = 3004 \text{ м}$

Ответ: 3004 м.

в) 6 км 20 м

Переведем километры в метры:

$6 \text{ км} = 6 \times 1000 \text{ м} = 6000 \text{ м}$

Прибавим оставшиеся 20 метров:

$6000 \text{ м} + 20 \text{ м} = 6020 \text{ м}$

Ответ: 6020 м.

1.53 Выразите в километрах и метрах: а) 9678 м; б) 6009 м; в) 24 700 м.

а) 9678 м = 9000 м + 678 м = 9 км 678 м;

б) 6009 м = 6000 м + 9 м = 6 км 9 м;

в) 24 700 м = 24000 м + 700 м = 24 км 700 м.

Для того чтобы выразить расстояние, данное в метрах, в километрах и метрах, необходимо использовать соотношение между этими единицами измерения:

$1 \text{ километр} = 1000 \text{ метров}$

Чтобы перевести метры в километры, нужно разделить количество метров на 1000. Целая часть от деления покажет количество полных километров, а остаток — количество метров.

а) 9678 м

Разделим 9678 на 1000, чтобы найти количество полных километров:

$9678 \div 1000 = 9$ (остаток $678$)

Целая часть равна 9, значит, в 9678 метрах содержится 9 километров. Остаток от деления равен 678, что соответствует количеству оставшихся метров.

Таким образом, $9678 \text{ м} = 9 \text{ км} \ 678 \text{ м}$.

Ответ: 9 км 678 м.

б) 6009 м

Разделим 6009 на 1000:

$6009 \div 1000 = 6$ (остаток $9$)

Целая часть равна 6, следовательно, в 6009 метрах содержится 6 километров. Остаток от деления равен 9, это и есть оставшиеся метры.

Таким образом, $6009 \text{ м} = 6 \text{ км} \ 9 \text{ м}$.

Ответ: 6 км 9 м.

в) 24 700 м

Разделим 24 700 на 1000:

$24700 \div 1000 = 24$ (остаток $700$)

Целая часть равна 24, это означает 24 километра. Остаток от деления равен 700, что соответствует метрам.

Таким образом, $24700 \text{ м} = 24 \text{ км} \ 700 \text{ м}$.

Ответ: 24 км 700 м.

1.54 Заполните пропуски:

а) 1 м = ... см;

б) 1 м = ... мм;

в) 1 дм = ... мм;

г) 1 км = ... см.

а) 1 м = 100 см;

б) 1 м = 1 000 см;

в) 1 дм = 100 мм;

г) 1 км = 100 000 см

а) Чтобы перевести метры в сантиметры, необходимо знать соотношение этих единиц измерения. Приставка «санти-» означает одну сотую, поэтому в одном метре содержится сто сантиметров.
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Ответ: 100.

б) Для перевода метров в миллиметры воспользуемся соотношением единиц. Приставка «милли-» означает одну тысячную, следовательно, в одном метре содержится одна тысяча миллиметров. Также можно выполнить перевод через сантиметры: зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$ и $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, получаем:
$1 \text{ м} = 100 \text{ см} = 100 \times 10 \text{ мм} = 1000 \text{ мм}$.
Ответ: 1000.

в) Чтобы перевести дециметры в миллиметры, можно последовательно перейти от дециметров к сантиметрам, а затем к миллиметрам. В одном дециметре содержится 10 сантиметров, а в каждом сантиметре — 10 миллиметров.
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$
$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$
Следовательно: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 10 \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$.
Ответ: 100.

г) Для перевода километров в сантиметры сначала переведем километры в метры. Приставка «кило-» означает тысячу, поэтому в одном километре 1000 метров. Затем переведем метры в сантиметры, зная, что в одном метре 100 сантиметров.
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
Следовательно: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 1000 \times 100 \text{ см} = 100\ 000 \text{ см}$.
Ответ: 100 000.

1.55 На прямой отметьте отрезки MN = 7 см 6 мм и NK = 3 см 4 мм. Найдите длину отрезка МК. Сколько решений имеет задача?

MN = 7 см 6 мм;

NK = 3 см 4 мм;

MK = MN + NK = 7 см 6 мм + 3 см 4 мм = 11 см

MN = 7 см 6 мм;

NK =3 см 4 мм;

MK = MN - NK = 7 см 6 мм - 3 см 4 мм = 4 см 2 мм

Для решения задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты расположения точек M, N и K на одной прямой. Для удобства вычислений переведем длины отрезков в миллиметры, учитывая, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.

Длина отрезка MN: $MN = 7 \text{ см } 6 \text{ мм} = 7 \times 10 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 76 \text{ мм}$.

Длина отрезка NK: $NK = 3 \text{ см } 4 \text{ мм} = 3 \times 10 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 34 \text{ мм}$.

Найдите длину отрезка МК

Существует два возможных случая расположения точек, которые приводят к разным значениям длины отрезка MK.

Случай 1: Точка N лежит между точками M и K.

В этом случае точки на прямой расположены в порядке M — N — K. Длина отрезка MK будет равна сумме длин отрезков MN и NK.

$MK = MN + NK$

$MK = 76 \text{ мм} + 34 \text{ мм} = 110 \text{ мм}$

Переведем результат обратно в сантиметры: $110 \text{ мм} = 11 \text{ см}$.

Случай 2: Точка K лежит между точками M и N.

В этом случае точки на прямой расположены в порядке M — K — N. Длина отрезка MK будет равна разности длин отрезков MN и NK.

$MK = MN - NK$

$MK = 76 \text{ мм} - 34 \text{ мм} = 42 \text{ мм}$

Переведем результат обратно в сантиметры и миллиметры: $42 \text{ мм} = 4 \text{ см } 2 \text{ мм}$.

(Отметим, что случай, когда точка M лежит между точками K и N, невозможен, так как длина отрезка MN (76 мм) больше длины отрезка NK (34 мм), и это привело бы к отрицательному значению длины MK).

Ответ: Длина отрезка MK может быть равна $11 \text{ см}$ или $4 \text{ см } 2 \text{ мм}$.

Сколько решений имеет задача?

Так как существует два различных и математически корректных способа расположения точек M, N и K на прямой, которые дают два разных ответа для длины отрезка MK, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет 2 решения.

1.56 Постройте:

а) замкнутую ломаную, состоящую из пяти звеньев;

б) незамкнутую ломаную FSHRPMD, измерьте звенья и найдите её длину.

FS = 1 см 1 мм;
SH = 2 см;
HR = 2 см 3 мм;
RP = 1 см 8 мм;
PM = 2 см 2 мм;
MD = 1 см 9 мм;

1 см 1 мм + 2 см 3 мм + 1 см 8 мм + 2 см 2 мм + 1 см 9 мм = 9 см 23 мм = 9 см + 23 мм = 9 см + 20 мм + 3 мм = 9 см + 2 см + 3 мм = 11 см 3 мм.

1.57 Отметьте точки А, К и L так, чтобы точка К лежала между точками А и L. Измерьте отрезки АК, KL, LA. Запишите результаты измерений. Сравните длины этих отрезков. Сделайте предположение о длине отрезка AL.

AK = 5 см 5 мм;
KL = 4 см 5 мм;
LA = 10 см.

KL, AK, AL - длины отрезков по возрастанию.

AL = AK + KL.

1.58 Запишите стороны и вершины многоугольника (рис. 1.10).

Стороны : AB, BC, CD, DK, AK.

Вершины: A, B, C, D, K.

Для того чтобы записать стороны и вершины многоугольника, изображенного на рисунке, необходимо определить его ключевые точки (вершины) и отрезки, их соединяющие (стороны).

Вершины
Вершинами многоугольника называются точки, в которых соединяются его стороны. На рисунке 1.10 мы видим, что многоугольник имеет пять вершин, которые обозначены заглавными латинскими буквами.
Перечислим эти вершины: A, B, C, D, K.
Ответ: Вершины многоугольника: A, B, C, D, K.

Стороны
Сторонами многоугольника являются отрезки, которые соединяют его соседние вершины. Данный многоугольник, являющийся пятиугольником, имеет пять сторон. Стороны принято обозначать двумя заглавными буквами, соответствующими вершинам, которые они соединяют.
Перечислим стороны этого многоугольника:
- отрезок, соединяющий вершины A и B, — сторона AB;
- отрезок, соединяющий вершины B и C, — сторона BC;
- отрезок, соединяющий вершины C и D, — сторона CD;
- отрезок, соединяющий вершины D и K, — сторона DK;
- отрезок, соединяющий вершины K и A, — сторона KA.
Ответ: Стороны многоугольника: AB, BC, CD, DK, KA.

1.59 Постройте замкнутую ломаную ABCDEFH. Измерьте её звенья и запишите результаты измерений.

AB = 2 см 2 мм;
BC = 2 см 3 мм;
CD = 2 см;
DE = 2 см 3 мм;
EF = 2 см;
FH = 1 см 9 мм;
HA = 1 см.

Данная задача состоит из двух частей: построение геометрической фигуры и измерение её элементов.

Постройте замкнутую ломаную ABCDEFH

Замкнутая ломаная линия — это фигура, которая состоит из нескольких отрезков (звеньев), соединенных последовательно так, что конец последнего отрезка совпадает с началом первого. Вершины ломаной в данном случае — это точки A, B, C, D, E, F, H. Всего 7 вершин, значит, получится семиугольник.

Порядок построения:

1. На листе бумаги (например, в тетради) отметьте 7 точек. Обозначьте их латинскими буквами A, B, C, D, E, F, H. Чтобы фигура получилась наглядной, располагайте точки так, чтобы они образовывали выпуклый или невыпуклый, но не самопересекающийся многоугольник.
2. Возьмите линейку и карандаш. Последовательно соедините отрезками точки в указанном порядке: A c B, B с C, C с D, D с E, E с F и F с H.
3. Для того чтобы ломаная стала замкнутой, соедините последнюю точку H с первой точкой A.

В результате у вас получится многоугольник, который является замкнутой ломаной ABCDEFH. Ниже приведен пример того, как может выглядеть такая фигура.

Измерьте её звенья и запишите результаты измерений

Теперь необходимо измерить длину каждого звена (стороны) построенного вами многоугольника.

1. Возьмите линейку с миллиметровыми делениями.
2. Приложите ноль линейки к одной из вершин, например, к точке A. Совместите линейку со звеном AB и определите, какому делению на линейке соответствует точка B. Это и будет длина звена AB.
3. Проделайте ту же операцию для всех остальных звеньев: BC, CD, DE, EF, FH и HA.
4. Запишите полученные результаты. Длину удобно записывать в сантиметрах с точностью до миллиметра (например, 3,5 см).

Важно: так как в условии задачи не указаны точные координаты вершин, у каждого человека, выполняющего это задание, получится своя уникальная ломаная, и, следовательно, результаты измерений будут отличаться. Ниже приведен пример записи результатов для фигуры, изображенной выше.

• Длина звена AB = 4,1 см
• Длина звена BC = 3,6 см
• Длина звена CD = 4,1 см
• Длина звена DE = 3,6 см
• Длина звена EF = 4,1 см
• Длина звена FH = 3,6 см
• Длина звена HA = 3,2 см

Ответ: Для решения задачи необходимо выполнить два действия. Первое — построить замкнутую ломаную ABCDEFH. Для этого нужно отметить на плоскости 7 произвольных точек (A, B, C, D, E, F, H) и последовательно соединить их отрезками, а затем соединить последнюю точку H с первой A. Второе — измерить с помощью линейки длины всех семи получившихся звеньев (AB, BC, CD, DE, EF, FH, HA) и записать результаты. Поскольку расположение точек произвольное, у каждого будут свои числовые результаты. Примерный результат измерений может быть таким: $AB \approx 4,1$ см, $BC \approx 3,6$ см, $CD \approx 4,1$ см, $DE \approx 3,6$ см, $EF \approx 4,1$ см, $FH \approx 3,6$ см, $HA \approx 3,2$ см.

1.60 Какие точки надо соединить на рисунке 1.11, чтобы получился пятиугольник? Назовите вершины и стороны получившегося пятиугольника.

Чтобы получился пятиугольник, нужно соединить точки S и О; Q и H.

Вершины: B, S, O, H, Q.

Стороны: BS, SO, OH, HQ, QB.

Какие точки надо соединить на рисунке 1.11, чтобы получился пятиугольник?

Чтобы из заданных точек и отрезков получить пятиугольник, необходимо создать замкнутую ломаную линию, состоящую из пяти звеньев (сторон). На рисунке мы видим пять точек ($S, B, Q, H, O$) и три отрезка, которые образуют две несвязанные части: ломаную $SBQ$ и отрезок $HO$. Чтобы соединить эти части в единую замкнутую фигуру, нужно добавить два отрезка, соединяющих их концы.

Соединим конец $Q$ ломаной $SBQ$ с одним из концов отрезка $HO$, например, с точкой $H$. Получим новый отрезок $QH$. Затем соединим начало $S$ ломаной $SBQ$ с оставшимся концом отрезка $HO$, то есть с точкой $O$. Получим отрезок $SO$. В результате этих действий образуется замкнутая фигура $SBQHO$.

Ответ: Чтобы получился пятиугольник, надо соединить отрезками точку $Q$ с точкой $H$ и точку $S$ с точкой $O$.

Назовите вершины и стороны получившегося пятиугольника.

В результате описанных выше соединений получается пятиугольник, который можно обозначить последовательным перечислением его вершин: $SBQHO$.

Вершинами многоугольника являются точки, в которых соединяются его стороны. Вершины получившегося пятиугольника: $S, B, Q, H, O$.

Сторонами многоугольника являются отрезки, которые соединяют соседние вершины. Стороны получившегося пятиугольника: $SB, BQ, QH, HO, OS$.

Ответ: Вершины: $S, B, Q, H, O$. Стороны: $SB, BQ, QH, HO, OS$.

1.61 Запишите все отрезки, изображённые на рисунке 1.12.

AB, BM, MN, AN, AM, BN, BO, ON, AO, OM.

На рисунке 1.12 изображена фигура, состоящая из точек $A, B, M, N, O$ и соединяющих их отрезков. Чтобы найти все отрезки, необходимо последовательно перечислить все пары точек, соединенные прямой линией.

1. Сначала определим отрезки, которые являются сторонами четырехугольника $ABNM$. Это отрезки, соединяющие соседние вершины: $AB$, $BM$, $MN$, $NA$.

2. Далее определим отрезки, которые являются диагоналями четырехугольника $ABNM$. Это отрезки, соединяющие противолежащие вершины: $AM$ и $BN$.

3. Диагонали $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $O$. Эта точка делит каждую диагональ на два более коротких отрезка.

• Диагональ $AM$ разделена на отрезки $AO$ и $OM$.
• Диагональ $BN$ разделена на отрезки $BO$ и $ON$.

Таким образом, мы нашли все отрезки на рисунке. Перечислим их все вместе.

Ответ: $AB, BM, MN, NA, AM, BN, AO, OM, BO, ON$.

1.62 Дачный участок прямоугольной формы требуется огородить забором. Найдите длину забора, если участок имеет размер 45 × 30 м.

Чтобы найти длину забора, нужно найти периметр прямоугольника (Р).

Р = 45 + 30 + 45 + 30 = (45+ 45) + (30 + 30) = 90 + 60 = 150 (м)

Ответ: 150 м.

Чтобы найти длину забора, необходимо вычислить периметр прямоугольного участка. Периметр (P) прямоугольника находится по формуле, где $a$ и $b$ — его стороны (длина и ширина):

$P = 2 \cdot (a + b)$

По условию задачи, размеры участка:

$a = 45$ м

$b = 30$ м

Подставим эти значения в формулу для вычисления периметра:

$P = 2 \cdot (45 + 30)$

Сначала выполним действие в скобках:

$45 + 30 = 75$ м

Затем умножим результат на 2:

$P = 2 \cdot 75 = 150$ м

Следовательно, длина забора должна быть 150 метров.

Ответ: 150 м.

1.63 Ширина прямоугольника в 4 раза меньше его длины. Найдите периметр прямоугольника, если ширина равна 28 см.

1) 28 · 4 = 112 (см) - длина;

2) (112 + 28) · 2 = 140 · 2 = 280 (см) - периметр.

Ответ: 280 см.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти длину прямоугольника, а затем, зная длину и ширину, вычислить его периметр.

1. Нахождение длины прямоугольника

В условии сказано, что ширина прямоугольника равна 28 см. Обозначим ширину буквой $w$.
$w = 28$ см.

Также указано, что ширина в 4 раза меньше длины. Это означает, что длина, которую мы обозначим буквой $l$, в 4 раза больше ширины.
Чтобы найти длину, нужно ширину умножить на 4:

$l = w \times 4 = 28 \text{ см} \times 4 = 112 \text{ см}$.

2. Нахождение периметра прямоугольника

Периметр прямоугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Формула для вычисления периметра:

$P = 2 \times (l + w)$

Теперь подставим известные значения длины и ширины в формулу:

$P = 2 \times (112 \text{ см} + 28 \text{ см})$

Сначала выполним сложение в скобках:

$112 + 28 = 140$

Затем умножим результат на 2:

$P = 2 \times 140 \text{ см} = 280 \text{ см}$.

Ответ: 280 см.

1.64 Найдите периметр треугольника АВС, если АС = 17 см, а сторона АВ меньше стороны ВС на 6 см и больше стороны АС на 3 см.

1) 17 + 3 = 20 (см) - длина АВ;

2) 20 + 6 = 26 (см) - длина ВС;

3) Р = АВ + ВС + АС = 20 + 26 + 17 = 46 + 17 = 63 (см).

Ответ: 63 см.

Для того чтобы найти периметр треугольника $ABC$, необходимо вычислить длины всех его сторон: $AB$, $BC$ и $AC$.

Из условия задачи нам дана длина стороны $AC$:
$AC = 17$ см.

Также в условии сказано, что сторона $AB$ больше стороны $AC$ на 3 см. Следовательно, мы можем найти длину стороны $AB$:
$AB = AC + 3$ см $= 17$ см $+ 3$ см $= 20$ см.

Далее, нам известно, что сторона $AB$ меньше стороны $BC$ на 6 см. Это означает, что сторона $BC$ на 6 см длиннее стороны $AB$. Вычислим длину стороны $BC$:
$BC = AB + 6$ см $= 20$ см $+ 6$ см $= 26$ см.

Теперь, зная длины всех трех сторон треугольника ($AB = 20$ см, $BC = 26$ см, $AC = 17$ см), мы можем рассчитать его периметр. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.
$P_{ABC} = AB + BC + AC$
$P_{ABC} = 20 + 26 + 17 = 63$ см.

Ответ: 63 см.

1.65 Вычислите периметр квадрата со стороной 4 см.

Р = 4 + 4 + 4 + 4 = 4 · 4 = 16 (см).

Ответ: 16 см.

1.65

Периметр квадрата — это сумма длин всех его четырех сторон. Поскольку у квадрата все стороны равны, для вычисления периметра можно умножить длину одной стороны на 4.

Формула для вычисления периметра квадрата ($P$) со стороной ($a$) выглядит следующим образом:

$P = 4 \cdot a$

По условию задачи, длина стороны квадрата составляет 4 см. Подставим это значение в формулу:

$a = 4 \text{ см}$

$P = 4 \cdot 4 \text{ см} = 16 \text{ см}$

Ответ: 16 см.

1.66 В пятиугольнике MPKQR стороны MP, РК и KQ равны по 16 см, сторона QR на 1 см 4 мм меньше стороны МР, а сторона MR на 3 см 9 мм больше стороны РК. Найдите периметр пятиугольника MPKQR.

1) 16 см - 1 см 4 мм = (15 см + 1 см) - 1 см 4 мм = 15 см 10 мм - 1 см 4 мм = 14 см 6 мм - длина QR;

2) 16 см + 3 см 9 мм = 19 см 9 мм - длина MR;

3) 16 + 16 + 16 = 48 (см) - MP + PK + KQ:

4) 48 см + 14 см 6 мм = 62 см 6 мм - MP + PK + KQ + QR;

5) 62 см 6 мм + 19 см 9 мм = 81 см 15 мм = 81 см + (10 мм + 5 мм) = 81 см + 1 см + 5 мм = 82 см 5 мм - Р.

Ответ : 82 см 5 мм.

Для того чтобы найти периметр пятиугольника $MPKQR$, необходимо сложить длины всех его сторон. Периметр $P$ вычисляется по формуле: $P = MP + PK + KQ + QR + RM$.

Согласно условию задачи, нам известны длины трех сторон, каждая из которых равна 16 см:
$MP = 16$ см
$PK = 16$ см
$KQ = 16$ см

Теперь найдем длины оставшихся двух сторон, $QR$ и $MR$. Для удобства вычислений переведем все величины в сантиметры.

1. Вычисление длины стороны QR
Сторона $QR$ на 1 см 4 мм меньше стороны $MP$.
$1 \text{ см } 4 \text{ мм} = 1.4 \text{ см}$.
$QR = MP - 1.4 \text{ см} = 16 \text{ см} - 1.4 \text{ см} = 14.6 \text{ см}$.

2. Вычисление длины стороны MR
Сторона $MR$ на 3 см 9 мм больше стороны $PK$.
$3 \text{ см } 9 \text{ мм} = 3.9 \text{ см}$.
$MR = PK + 3.9 \text{ см} = 16 \text{ см} + 3.9 \text{ см} = 19.9 \text{ см}$.

3. Вычисление периметра пятиугольника
Теперь, когда известны длины всех пяти сторон, мы можем вычислить периметр, сложив их:
$P = MP + PK + KQ + QR + MR$
$P = 16 \text{ см} + 16 \text{ см} + 16 \text{ см} + 14.6 \text{ см} + 19.9 \text{ см}$
$P = 48 \text{ см} + 14.6 \text{ см} + 19.9 \text{ см}$
$P = 62.6 \text{ см} + 19.9 \text{ см} = 82.5 \text{ см}$.

Ответ: 82.5 см.

5.92 Вычислите:

а)

б) $\mathrm{44\; 293\; 732} + 98 + \mathrm{7\; 888\; 999} = \mathrm{52\; 182\; 829}$

1)

2)

в)

г) $\mathrm{481\; 592} - 79 - \mathrm{92\; 367} = \mathrm{389\; 146}$

1)

2)

а) Чтобы вычислить сумму $3\;407\;403\;889 + 14\;800\;900\;773$, выполним сложение столбиком. Для этого запишем числа друг под другом так, чтобы разряды совпадали, и сложим их поразрядно справа налево, учитывая переносы в старшие разряды.
3 407 403 889
+ 14 800 900 773
------------------
18 208 304 662
Таким образом, $3\;407\;403\;889 + 14\;800\;900\;773 = 18\;208\;304\;662$.
Ответ: 18 208 304 662.

б) Чтобы вычислить сумму $44\;293\;732 + 98 + 7\;888\;999$, удобно сложить все три числа столбиком, выровняв их по правому краю (по разряду единиц).
44 293 732
+ 98
+ 7 888 999
----------------
52 182 829
Таким образом, $44\;293\;732 + 98 + 7\;888\;999 = 52\;182\;829$.
Ответ: 52 182 829.

в) Вычислим разность $29\;481\;711 - 183\;459$. Выполним вычитание столбиком.
29 481 711
- 183 459
-------------
29 298 252
Таким образом, $29\;481\;711 - 183\;459 = 29\;298\;252$.
Ответ: 29 298 252.

г) Чтобы вычислить выражение $481\;592 - 79 - 92\;367$, можно действовать в два шага. Сначала можно сложить числа, которые вычитаются, а затем вычесть полученную сумму из уменьшаемого.
1. Сложим вычитаемые: $79 + 92\;367 = 92\;446$.
2. Вычтем полученную сумму из первого числа: $481\;592 - 92\;446$.
481 592
- 92 446
-----------
389 146
Таким образом, $481\;592 - 79 - 92\;367 = 389\;146$.
Ответ: 389 146.

5.93 Развивай пространственное воображение. На рисунке 5.23, а показан дачный гараж с одним окном и одной дверью. На рисунках 5.23, б—д — вид гаража с другой стороны. Какой из этих видов соответствует гаражу на рисунке 5.23, а?

Для решения этой задачи необходимо мысленно обойти гараж, изображенный на рисунке а, и определить, какой из видов б–д соответствует виду с другой стороны.

1. Анализ исходного изображения (а). На рисунке а мы видим гараж спереди и справа. У гаража есть четыре стороны:

• Передняя стена: короткая, со скатом крыши (фронтон) и большими воротами.
• Правая стена: длинная, с одним окном.
• Задняя стена: короткая, с фронтоном, без окон и дверей (мы это предполагаем, так как видна только одна дверь и одно окно).
• Левая стена: длинная, без окон и дверей.

2. Определение вида «с другой стороны». «Другая сторона» — это любой ракурс, отличный от исходного. Варианты б, в, г и д показывают вид на угол гаража. Проанализируем, какой угол это может быть.

3. Анализ вариантов. Мысленно переместимся к заднему правому углу гаража. Если стоять лицом к этому углу, то:

• Слева от нас будет задняя стена (короткая, с фронтоном, без окон).
• Справа от нас будет правая стена (длинная, с окном).

Следовательно, правильный вид должен показывать слева глухую стену с фронтоном, а справа — длинную стену с окном.

• Варианты б и г: Здесь слева показана длинная стена с окном, а справа — глухая стена с фронтоном. Это не соответствует нашему анализу. Такая картина наблюдалась бы, если бы окно было на левой стене гаража, а мы смотрели бы с заднего левого угла.
• Варианты в и д: Здесь слева показана глухая стена с фронтоном (задняя стена), а справа — длинная стена с окном (правая стена). Это полностью соответствует виду с заднего правого угла.

4. Выбор между вариантами в и д. Оба варианта показывают правильное расположение стен. Чтобы выбрать единственно верный, обратим внимание на мелкую деталь — расположение окна на стене. На рисунке а окно на правой стене смещено немного вперед (ближе к воротам). Когда мы смотрим на гараж сзади (как в вариантах в и д), передняя часть гаража находится дальше от нас. Следовательно, и окно должно быть расположено дальше от угла, на который мы смотрим.

• В варианте в окно на правой стене смещено немного вправо, то есть дальше от угла. Это соответствует его положению на рисунке а.
• В варианте д окно, наоборот, смещено немного влево, то есть ближе к углу, что противоречит исходному изображению.

Таким образом, вид, который полностью соответствует гаражу на рисунке а, — это вид в.

Ответ: в.

5.94 Коля с папой поехали на экскурсию в заповедник, находящийся на острове. Два часа они ехали на машине со скоростью 85 км/ч. Потом они шли пешком x ч со скоростью 4 км/ч, затем час плыли на лодке по озеру со скоростью v км/ч.

а) Составьте выражение, по которому можно найти путь от дома до заповедника.

б) Найдите значение этого выражения при: 1) x = 2, v = 5; 2) x = 1, v = 8.

а) $2 · 85 + 4x + 1v = (170 + 4x + v)$ км

б) 1) $x = 2,v = 5$

$170 + 4 · 2 + 5 = 170 + 8 + 5 = 183$(км)

2) $x = 1,v = 8$

$170 + 4 · 1 + 8 = 170 + 4 + 8 = 182$(км)

Ответ: а) $(170 + 4x + v)$ км;

б) 1) 183 км; 2) 182 км

а)

Чтобы составить выражение для нахождения общего пути от дома до заповедника, необходимо сложить расстояния, пройденные на каждом из трех этапов путешествия. Расстояние ($S$) находится по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ — это скорость, а $t$ — это время.

1. Путь, пройденный на машине:
$S_{машина} = 85 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 170 \text{ км}$.

2. Путь, пройденный пешком:
$S_{пешком} = 4 \text{ км/ч} \cdot x \text{ ч} = 4x \text{ км}$.

3. Путь, пройденный на лодке:
$S_{лодка} = v \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = v \text{ км}$.

Общий путь $S$ равен сумме путей на всех участках:
$S = S_{машина} + S_{пешком} + S_{лодка} = 170 + 4x + v$.

Ответ: $170 + 4x + v$.

б)

1) Найдем значение выражения при $x = 2$ и $v = 5$. Подставим эти значения в полученное в пункте а) выражение:
$170 + 4 \cdot 2 + 5 = 170 + 8 + 5 = 183$ (км).

Ответ: 183.

2) Найдем значение выражения при $x = 1$ и $v = 8$. Подставим эти значения в выражение:
$170 + 4 \cdot 1 + 8 = 170 + 4 + 8 = 182$ (км).

Ответ: 182.

5.95 Пешеход и велосипедист отправились из двух посёлков одновременно навстречу друг другу. Через сколько минут они встретятся, если расстояние между посёлками 5 км 600 м, а пешеход и велосипедист передвигаются со скоростью 80 м/мин и 200 м/мин соответственно?

Для решения этой задачи выполним следующие действия:

1. Перевод единиц измерения
Поскольку скорости даны в метрах в минуту (м/мин), для удобства расчетов переведем расстояние между посёлками полностью в метры.
В 1 километре содержится 1000 метров.
Расстояние $S = 5 \text{ км } 600 \text{ м} = 5 \times 1000 \text{ м} + 600 \text{ м} = 5600 \text{ м}$.

2. Определение скорости сближения
Пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу. Это значит, что расстояние между ними сокращается с каждой минутой. Скорость, с которой они сближаются (скорость сближения), равна сумме их скоростей.
Скорость пешехода $v_{пеш} = 80 \text{ м/мин}$.
Скорость велосипедиста $v_{вел} = 200 \text{ м/мин}$.
Скорость сближения $v_{сбл} = v_{пеш} + v_{вел} = 80 \text{ м/мин} + 200 \text{ м/мин} = 280 \text{ м/мин}$.

3. Расчет времени до встречи
Время, через которое пешеход и велосипедист встретятся, можно найти, разделив общее расстояние на скорость их сближения.
Время $t = \frac{S}{v_{сбл}}$.
$t = \frac{5600 \text{ м}}{280 \text{ м/мин}} = \frac{560}{28} \text{ мин} = 20 \text{ мин}$.

Ответ: 20 минут.

5.96 По рисунку 5.24 найдите площадь:

а) треугольника MBN;

б) треугольника MNC;

в) треугольника MNO;

г) треугольника NCO.

Какие из этих треугольников равновелики?

Для решения задачи воспользуемся координатами точек, которые обычно приводятся на рисунке 5.24 в учебнике. Предположим, что точки имеют следующие координаты в прямоугольной системе координат, где O — начало координат:

• O(0, 0)
• B(2, 2)
• N(5, 2)
• C(8, 2)
• M(2, 5)

Из координат видно, что точки B, N и C лежат на одной горизонтальной прямой $y=2$.

Вершины треугольника MBN имеют координаты M(2, 5), B(2, 2) и N(5, 2). Основание BN лежит на прямой $y=2$, поэтому его длина равна разности абсцисс точек N и B: $|BN| = 5 - 2 = 3$. Высота треугольника, опущенная из вершины M на прямую, содержащую основание BN, равна разности ординат точки M и прямой $y=2$: $h = 5 - 2 = 3$. Площадь треугольника MBN вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$: $S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot |BN| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$.
Ответ: 4,5.

Вершины треугольника MNC имеют координаты M(2, 5), N(5, 2) и C(8, 2). Основание NC также лежит на прямой $y=2$. Его длина равна разности абсцисс точек C и N: $|NC| = 8 - 5 = 3$. Высота, опущенная из вершины M на прямую, содержащую NC, та же, что и в предыдущем пункте: $h = 3$. Площадь треугольника MNC равна: $S_{MNC} = \frac{1}{2} \cdot |NC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$.
Ответ: 4,5.

Вершины треугольника MNO имеют координаты M(2, 5), N(5, 2) и O(0, 0). Поскольку ни одна из сторон не параллельна осям координат, для вычисления площади воспользуемся формулой по координатам вершин $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$: $S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$. Подставим координаты точек M, N и O: $S_{MNO} = \frac{1}{2} |2(2 - 0) + 5(0 - 5) + 0(5 - 2)| = \frac{1}{2} |2 \cdot 2 + 5 \cdot (-5) + 0| = \frac{1}{2} |4 - 25| = \frac{1}{2} |-21| = \frac{21}{2} = 10,5$.
Ответ: 10,5.

Вершины треугольника NCO имеют координаты N(5, 2), C(8, 2) и O(0, 0). Основание NC лежит на прямой $y=2$, и его длина, как мы уже нашли, равна $|NC| = 3$. Высота, опущенная из вершины O(0, 0) на прямую $y=2$, содержащую основание, равна 2. Площадь треугольника NCO равна: $S_{NCO} = \frac{1}{2} \cdot |NC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$.
Ответ: 3.

Сравним найденные площади треугольников: $S_{MBN} = 4,5$
$S_{MNC} = 4,5$
$S_{MNO} = 10,5$
$S_{NCO} = 3$
Треугольники называются равновеликими, если их площади равны. В нашем случае $S_{MBN} = S_{MNC}$.
Ответ: Равновеликими являются треугольники MBN и MNC.

5.97 В магазине первый покупатель купил 7 кг груш, а остальные n покупателей - по 5 кг каждый. Найдите, сколько килограммов груш осталось в магазине, если было 70 кг. Какие значения может принимать n?

Было - 70 кг

Купили - $7\text{кг} + 5\text{n}<mtext>кг</mtext>$

Осталось - ?

$5\text{n}<mtext>кг</mtext>$ купили $\text{n}$ покупателей

$70 - 7 - 5\text{n} = 63 - 5\text{n}<mtext>кг</mtext>$ - осталось

После того, как первый покупатель купил 7кг груш, в магазине осталось $70 - 7 = 63\text{кг}$. Так как остальные $\text{n}$ покупателей покупали по $5\text{кг}$ груш, то $63 : 5 = 12\text{ост.}3$

Наибольшее число покупателей могло быть 12 и осталось ещё 3кг груш. Значит, $\text{n}$ может принимать значения от 1 до 12, т.е. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Ответ: ; $\text{n}$ может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Сколько килограммов груш осталось в магазине

Для того чтобы найти, сколько килограммов груш осталось, необходимо из начального количества вычесть общее количество проданных груш.

Начальное количество груш в магазине — 70 кг.

Первый покупатель купил 7 кг груш.

Остальные $n$ покупателей купили по 5 кг каждый. Общее количество груш, которое они купили, составляет $5 \cdot n$ кг.

Следовательно, общее количество купленных груш равно сумме покупок первого покупателя и остальных $n$ покупателей: $7 + 5n$ кг.

Теперь найдем, сколько груш осталось в магазине, вычтя из начального количества общее купленное количество: $70 - (7 + 5n) = 70 - 7 - 5n = 63 - 5n$ кг.

Ответ: В магазине осталось $63 - 5n$ кг груш.

Какие значения может принимать n

Количество покупателей $n$ должно быть целым неотрицательным числом, так как $n$ представляет собой количество людей.

Кроме того, количество проданных груш не может превышать количество груш, которое было в магазине изначально. Это означает, что количество оставшихся груш должно быть больше или равно нулю. Используем выражение, полученное в первой части:

$63 - 5n \ge 0$
Решим это неравенство относительно $n$:
$63 \ge 5n$
$n \le \frac{63}{5}$
$n \le 12.6$

Поскольку $n$ должно быть целым неотрицательным числом ($n \ge 0$) и $n \le 12.6$, то $n$ может принимать любые целые значения от 0 до 12 включительно.

Ответ: $n$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$.