Страница 18, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.42 Постройте отрезок MN и отметьте на нём точки С и D.

а) На сколько отрезков точка D делит отрезок MN?

б) Запишите все отрезки, на которые точки С и D делят отрезок MN,

а) Точка D делит отрезок MN на два отрезка;

б) MC, CD, DN, MD, CN.

1.43 Начертите отрезок RQ, равный 10 см, и отметьте на нем точку Р на расстоянии 2 см от точки R и точку О на расстоянии 5 см от точки R. Запишите все отрезки с концами в точках R, P, O и Q. Измерьте их длину.

RP = 2 (см); RO = 5 (см).

PO = RO - RP = 5 - 2 = 3 (см);

OQ = RQ - RO = 10 - 5 = 5 (см);

PQ = PO + OQ = 3 + 5 = 8 (см).

Начертите отрезок RQ и отметьте на нём точки P и O
Согласно условию задачи, мы имеем отрезок $RQ$ длиной $10$ см. На этом отрезке расположены точки $P$ и $O$ таким образом, что расстояние от точки $R$ до точки $P$ равно $2$ см (то есть $|RP|=2$ см), а расстояние от точки $R$ до точки $O$ равно $5$ см (то есть $|RO|=5$ см). Поскольку $2 < 5 < 10$, точки на отрезке $RQ$ будут расположены в следующем порядке: $R, P, O, Q$.

Запишите все отрезки с концами в точках R, P, O и Q. Измерьте их длину
Всего существует 6 уникальных отрезков, которые можно образовать, соединяя пары точек из множества $\{R, P, O, Q\}$. Найдем длины каждого из них.

1. Отрезок $RP$: его длина дана в условии.
$|RP| = 2$ см.

2. Отрезок $RO$: его длина дана в условии.
$|RO| = 5$ см.

3. Отрезок $RQ$: его длина дана в условии.
$|RQ| = 10$ см.

4. Отрезок $PO$: так как точка $P$ лежит между точками $R$ и $O$, длина отрезка $PO$ равна разности длин отрезков $RO$ и $RP$.
$|PO| = |RO| - |RP| = 5 \text{ см} - 2 \text{ см} = 3$ см.

5. Отрезок $PQ$: так как точка $P$ лежит между точками $R$ и $Q$, длина отрезка $PQ$ равна разности длин отрезков $RQ$ и $RP$.
$|PQ| = |RQ| - |RP| = 10 \text{ см} - 2 \text{ см} = 8$ см.

6. Отрезок $OQ$: так как точка $O$ лежит между точками $R$ и $Q$, длина отрезка $OQ$ равна разности длин отрезков $RQ$ и $RO$.
$|OQ| = |RQ| - |RO| = 10 \text{ см} - 5 \text{ см} = 5$ см.

Ответ:
Все отрезки и их длины:
$RP = 2$ см;
$RO = 5$ см;
$RQ = 10$ см;
$PO = 3$ см;
$PQ = 8$ см;
$OQ = 5$ см.

1.44 Назовите точки, которые лежат на отрезке МС (рис. 1.7), и точки, которые не лежат на нём.

Точки, которые лежат на отрезке МС: N и D.

Точки, которые не лежат на отрезке МС: H, P, B, X и R.

Точки, которые лежат на отрезке $MC$

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются концами отрезка. Отрезок $MC$ включает в себя свои концы, точки $M$ и $C$, а также все точки прямой, расположенные между ними.

Рассмотрим рисунок 1.7. На прямой расположены точки в следующем порядке: $M, N, D, C, B$. Отрезок начинается в точке $M$ и заканчивается в точке $C$. Между точками $M$ и $C$ находятся точки $N$ и $D$. Следовательно, точки $M, N, D, C$ лежат на отрезке $MC$.

Ответ: $M, N, D, C$.

Точки, которые не лежат на нём

Точки, которые не лежат на отрезке $MC$, это все остальные точки, показанные на рисунке, которые не вошли в предыдущий список.

Точка $B$ лежит на той же прямой, что и отрезок $MC$, но она находится за его пределами (правее точки $C$), поэтому она не принадлежит отрезку $MC$. Точки $H, P, X$ и $R$ не лежат на прямой, содержащей отрезок $MC$, и, следовательно, также не принадлежат этому отрезку.

Ответ: $B, H, P, X, R$.

1.45 Назовите точки (рис. 1.8), которые лежат между точками:

а) А и В;

б) К и В;

в) А и S;

г) S и В.

а) Между точками А и В лежат точки: K, S и P;

б) Между точками К и В лежат точки: S и P;

в) Между точками A и S лежит точка K;

г) Между точками S и B лежит точка P.

а) A и B
Чтобы найти точки, которые лежат между точками $A$ и $B$, нужно посмотреть на отрезок $AB$ на рисунке. Все точки, расположенные на прямой между $A$ и $B$, являются искомыми. Из рисунка видно, что это точки $K$, $S$ и $P$.
Ответ: $K, S, P$.

б) K и B
Рассмотрим отрезок, концами которого являются точки $K$ и $B$. Между этими точками на прямой расположены точки $S$ и $P$.
Ответ: $S, P$.

в) A и S
Рассмотрим отрезок с концами в точках $A$ и $S$. Между этими двумя точками находится только одна отмеченная точка — точка $K$.
Ответ: $K$.

г) S и B
Рассмотрим отрезок с концами в точках $S$ и $B$. Между этими двумя точками находится только одна отмеченная точка — точка $P$.
Ответ: $P$.

1.46 Используя циркуль-измеритель:

а) найдите равные отрезки на рисунке 1.9;

б) постройте отрезок, равный отрезку АВ.

а) CD = PT: MK = EF;

б)

RS = AB

а) Чтобы найти равные отрезки на рисунке, воспользуемся циркулем-измерителем. Этот инструмент позволяет сравнивать длины отрезков, не прибегая к их измерению линейкой.

Процесс сравнения выглядит следующим образом:

1. Устанавливаем раствор циркуля так, чтобы его ножки оказались на концах первого отрезка, например, $AB$. Таким образом, мы "запомнили" его длину.

2. Не меняя раствора циркуля, прикладываем его к другим отрезкам, чтобы сравнить их длины. Ставим одну ножку на один конец отрезка и смотрим, куда попадет вторая ножка.

Выполнив эту процедуру для всех отрезков на рисунке 1.9, мы обнаружим следующие пары равных отрезков:

• Измерив отрезок $CD$ и сравнив его с отрезком $PT$, мы увидим, что их длины совпадают.

• Измерив отрезок $MK$ и сравнив его с отрезком $EF$, мы также обнаружим, что они равны.

Отрезок $AB$ не равен никакому другому отрезку на рисунке.

Ответ: $CD = PT$ и $MK = EF$.

б) Чтобы построить отрезок, равный отрезку $AB$, с помощью циркуля и линейки (без делений), нужно выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертим произвольную прямую. На этой прямой выберем произвольную точку и обозначим её, например, буквой $O$. Эта точка будет началом нашего нового отрезка.

2. Возьмем циркуль и измерим им длину отрезка $AB$. Для этого установим иглу циркуля в точку $A$, а ножку с грифелем — в точку $B$. Зафиксируем полученный раствор циркуля.

3. Не изменяя раствора циркуля, установим его иглу в точку $O$ на нашей прямой.

4. Проведём дугу так, чтобы она пересекла прямую. Точку пересечения дуги и прямой обозначим, например, буквой $Q$.

В результате мы получили отрезок $OQ$. По построению, его длина равна длине отрезка $AB$, так как мы использовали один и тот же раствор циркуля.

Ответ: Построен отрезок $OQ$, равный отрезку $AB$.

1.47 Отметьте точки А и К на отрезке MN так, чтобы точка К лежала между точками А и N. Чему равен отрезок MN, если отрезок МА равен 15 см, отрезок АК на 3 см меньше отрезка МА, а отрезок KN в 3 раза меньше отрезка МК?

1) 15 - 3 = 12 (см) - АК;

2) МК = МА + АК = 15 + 12 = 27 (см);

3) 27 : 3 = 9 (см) - KN;

4) MN = MK + KN = 27 + 9 = 36 (см).

Ответ: 36 см.

Для решения задачи сначала определим порядок расположения точек на отрезке. Согласно условию, точки $A$ и $K$ находятся на отрезке $MN$, при этом точка $K$ лежит между точками $A$ и $N$. Это означает, что точки на прямой располагаются в следующей последовательности: $M$, $A$, $K$, $N$.
Следовательно, длина всего отрезка $MN$ будет равна сумме длин его составных частей: $MN = MA + AK + KN$.
Выполним вычисления по шагам.

1. Находим длину отрезка AK
По условию, длина отрезка $MA$ равна 15 см, а отрезок $AK$ на 3 см меньше отрезка $MA$.
$AK = MA - 3 \text{ см} = 15 \text{ см} - 3 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

2. Находим длину отрезка MK
Длина отрезка $MK$ необходима для вычисления длины отрезка $KN$. Отрезок $MK$ является суммой отрезков $MA$ и $AK$.
$MK = MA + AK = 15 \text{ см} + 12 \text{ см} = 27 \text{ см}$.

3. Находим длину отрезка KN
По условию, отрезок $KN$ в 3 раза меньше отрезка $MK$.
$KN = MK / 3 = 27 \text{ см} / 3 = 9 \text{ см}$.

4. Находим общую длину отрезка MN
Теперь, зная длины всех частей, можно вычислить общую длину отрезка $MN$.
$MN = MA + AK + KN = 15 \text{ см} + 12 \text{ см} + 9 \text{ см} = 36 \text{ см}$.
Также можно выполнить проверку, сложив длины отрезков $MK$ и $KN$:
$MN = MK + KN = 27 \text{ см} + 9 \text{ см} = 36 \text{ см}$.
Оба способа расчета дают одинаковый результат.

Ответ: 36 см.

5.81 Найдите значение выражения:

1) Для того чтобы найти значение выражения $83 \cdot (4637 + 1289) - (19204 + 43853)$, необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала действия в скобках, затем умножение и вычитание.
1. Выполним сложение в первых скобках:
$4637 + 1289 = 5926$.
2. Выполним сложение во вторых скобках:
$19204 + 43853 = 63057$.
3. Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:
$83 \cdot 5926 - 63057$.
4. Выполним умножение:
$83 \cdot 5926 = 491858$.
5. Выполним вычитание:
$491858 - 63057 = 428801$.
Ответ: 428801.

2) Для того чтобы найти значение выражения $(69701 - 69007) \cdot 75 + (36431 - 27443)$, необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала действия в скобках, затем умножение и сложение.
1. Выполним вычитание в первых скобках:
$69701 - 69007 = 694$.
2. Выполним вычитание во вторых скобках:
$36431 - 27443 = 8988$.
3. Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:
$694 \cdot 75 + 8988$.
4. Выполним умножение:
$694 \cdot 75 = 52050$.
5. Выполним сложение:
$52050 + 8988 = 61038$.
Ответ: 61038.

5.82 Проведите окружность радиусом 3 см и закрасьте:

а) 14 круга;

б) 58 круга.

Для выполнения этого задания сначала нужно начертить окружность с заданным радиусом, а затем определить сектор круга, соответствующий указанной дроби, и закрасить его. Полный круг представляет собой центральный угол в $360^\circ$. Чтобы найти угол сектора, который нужно закрасить, необходимо умножить данную дробь на $360^\circ$.

а) $\frac{1}{4}$ круга

1. Возьмите циркуль и линейку. На линейке отмерьте расстояние 3 см и установите такой раствор циркуля.

2. Выберите точку на бумаге, которая будет центром окружности. Поставьте в нее ножку циркуля и проведите окружность.

3. Теперь необходимо закрасить $\frac{1}{4}$ круга (площади внутри окружности). Для этого вычислим центральный угол сектора, который соответствует этой дроби:
$\alpha = \frac{1}{4} \times 360^\circ = 90^\circ$

4. Из центра окружности проведите любой радиус (отрезок, соединяющий центр с точкой на окружности).

5. С помощью транспортира отложите от построенного радиуса угол в $90^\circ$ и проведите второй радиус.

6. Закрасьте область внутри круга, ограниченную двумя радиусами и дугой между ними. Эта область называется сектором и составляет ровно четверть круга.

Ответ: Чтобы закрасить $\frac{1}{4}$ круга радиусом 3 см, необходимо начертить в нем сектор с центральным углом $90^\circ$ и закрасить его.

б) $\frac{5}{8}$ круга

1. Аналогично предыдущему пункту, начертите окружность радиусом 3 см.

2. Чтобы закрасить $\frac{5}{8}$ круга, найдем соответствующий этой дроби центральный угол:
$\alpha = \frac{5}{8} \times 360^\circ = 5 \times (360^\circ \div 8) = 5 \times 45^\circ = 225^\circ$

3. Проведите из центра окружности один радиус.

4. С помощью транспортира отложите от этого радиуса угол в $225^\circ$ и проведите второй радиус. Обратите внимание, что $225^\circ$ — это развернутый угол ($180^\circ$) плюс еще $45^\circ$.

5. Закрасьте больший из двух секторов, образованных радиусами. Его угол как раз и будет $225^\circ$.

6. Как вариант, можно было найти угол незакрашенной части: $1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$. Угол незакрашенного сектора равен $\frac{3}{8} \times 360^\circ = 135^\circ$. Можно построить сектор с углом $135^\circ$ и закрасить всю остальную часть круга.

Ответ: Чтобы закрасить $\frac{5}{8}$ круга радиусом 3 см, необходимо начертить в нем сектор с центральным углом $225^\circ$ и закрасить его.

5.83 Из восьмилитровой кастрюли борща 3 л борща съели. Какую часть борща съели? Какая часть борща осталась?

Какую часть борща съели?

Для того чтобы найти, какую часть от общего количества составляет съеденное, необходимо разделить количество съеденного борща на общее количество борща в кастрюле.

Общее количество борща — 8 литров.

Количество съеденного борща — 3 литра.

Часть, которую съели, выражается дробью, где в числителе — съеденное количество, а в знаменателе — общее количество:

$\frac{3}{8}$

Ответ: съели $\frac{3}{8}$ часть борща.

Какая часть борща осталась?

Сначала найдем, сколько литров борща осталось в кастрюле. Для этого вычтем из общего количества съеденное количество.

$8 - 3 = 5$ (литров)

Теперь найдем, какую часть от общего количества составляет оставшийся борщ. Для этого разделим оставшееся количество на общее количество.

$\frac{5}{8}$

Альтернативный способ: можно из целого (то есть из 1) вычесть ту часть, которую съели.

$1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

Ответ: осталась $\frac{5}{8}$ часть борща.

5.84 Найдите, чему равны площади 38 квадрата и трети квадрата, если площадь квадрата 36 см².

В задаче дано, что площадь квадрата равна $36 \text{ см}^2$. Необходимо найти две величины: площадь $\frac{3}{8}$ квадрата и площадь трети квадрата.

Площадь $\frac{3}{8}$ квадрата

Чтобы найти часть от целого, нужно это целое (общую площадь) умножить на дробь, которая выражает эту часть. В данном случае, нужно умножить площадь квадрата на $\frac{3}{8}$.

Выполним вычисление:

$36 \cdot \frac{3}{8} = \frac{36 \cdot 3}{8} = \frac{108}{8}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{108 \div 4}{8 \div 4} = \frac{27}{2} = 13,5 \text{ см}^2$.

Ответ: $13,5 \text{ см}^2$.

Площадь трети квадрата

Слово "треть" означает одну третью часть, то есть дробь $\frac{1}{3}$. Чтобы найти треть от площади квадрата, нужно общую площадь умножить на $\frac{1}{3}$ или, что то же самое, разделить на 3.

Выполним вычисление:

$36 \cdot \frac{1}{3} = \frac{36}{3} = 12 \text{ см}^2$.

Ответ: $12 \text{ см}^2$.

5.85 Собрали 112 кг капусты и 58 этой капусты заквасили. Сколько килограммов капусты заквасили?

Чтобы решить задачу, необходимо найти, сколько килограммов составляет $\frac{5}{8}$ от общего количества капусты, равного 112 кг. Для этого нужно умножить общее количество на эту дробь.

Вычисление можно произвести в два действия:

1. Сначала найдем, сколько килограммов составляет одна восьмая часть ($\frac{1}{8}$) всей капусты. Для этого разделим общее количество на знаменатель дроби:

$112 \div 8 = 14$ (кг)

2. Теперь, чтобы найти, сколько составляют пять восьмых частей ($\frac{5}{8}$), умножим полученный результат на числитель дроби:

$14 \times 5 = 70$ (кг)

Также можно записать вычисление одним выражением:

$112 \times \frac{5}{8} = \frac{112 \times 5}{8} = \frac{560}{8} = 70$ (кг)

Ответ: 70 кг капусты заквасили.

5.86 В заповедник «Пушкинские Горы» среди прочих достопримечательностей входят музей-усадьба Михайловское, родовое имение А. С. Пушкина, и музей-усадьба Тригорское, имение его друзей.

От одной усадьбы до другой ведёт дорожка протяжённостью 3 км. По пути на расстоянии $\frac{4}{5}$ от усадьбы Тригорское находится Савкина горка, с которой открывается прекрасный вид на окрестности и где поэт любил останавливаться для отдыха. На каком расстоянии от усадьбы Тригорское находится Савкина горка?

Для того чтобы найти, на каком расстоянии от усадьбы Тригорское находится Савкина горка, необходимо вычислить $\frac{4}{5}$ от общей протяжённости дорожки между усадьбами.

Общая протяжённость дорожки составляет 3 км.

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь. Выполним умножение:

$3 \times \frac{4}{5} = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5}$ км

Преобразуем полученную неправильную дробь в десятичную для более ясного ответа:

$\frac{12}{5} = 12 \div 5 = 2,4$ км

Таким образом, расстояние от усадьбы Тригорское до Савкиной горки составляет 2,4 километра.

Ответ: 2,4 км.

5.87 Костюмерная мастерская театра получила 400 м атласа. Из 38 всей ткани сшили костюмы для артистов — участников спектакля, а из 25 — для хореографического ансамбля. Сколько метров атласа осталось?

Способ 1

1. Определим, сколько метров атласа ушло на костюмы для артистов спектакля. Для этого найдем $ \frac{3}{8} $ от 400 метров:

$ 400 \cdot \frac{3}{8} = \frac{400 \cdot 3}{8} = 50 \cdot 3 = 150 $ метров.

2. Далее определим, сколько метров атласа ушло на костюмы для хореографического ансамбля. Условие "а из $ \frac{2}{5} $" означает, что эта доля также рассчитывается от общего количества ткани (400 м):

$ 400 \cdot \frac{2}{5} = \frac{400 \cdot 2}{5} = 80 \cdot 2 = 160 $ метров.

3. Теперь вычислим, сколько всего метров ткани было израсходовано, сложив затраты на обе цели:

$ 150 + 160 = 310 $ метров.

4. Наконец, найдем остаток ткани, вычтя из общего количества израсходованное:

$ 400 - 310 = 90 $ метров.

Ответ: 90 метров.

Способ 2

1. Найдем, какую общую часть ткани израсходовали. Для этого сложим дроби $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{2}{5} $. Для сложения приведем дроби к общему знаменателю, который равен 40:

$ \frac{3}{8} + \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{15}{40} + \frac{16}{40} = \frac{31}{40} $.

Таким образом, было израсходовано $ \frac{31}{40} $ всей ткани.

2. Теперь найдем, какая часть ткани осталась. Если вся ткань — это 1, то оставшаяся часть равна:

$ 1 - \frac{31}{40} = \frac{40}{40} - \frac{31}{40} = \frac{9}{40} $.

3. Вычислим, сколько метров составляет оставшаяся часть ($ \frac{9}{40} $) от первоначального количества ткани:

$ 400 \cdot \frac{9}{40} = \frac{400}{40} \cdot 9 = 10 \cdot 9 = 90 $ метров.

Ответ: 90 метров.

5.88 До антракта симфонический оркестр играл 35 всего времени концерта. Сколько времени продолжался концерт, если до антракта играли 2 ч?

Для решения этой задачи нам нужно найти целое, зная его часть. По условию, 2 часа — это $\frac{3}{5}$ от всего времени концерта.

Пусть $x$ — это общая продолжительность концерта в часах. Тогда мы можем составить следующее уравнение:
$\frac{3}{5} \cdot x = 2$

Чтобы найти $x$, нужно 2 разделить на дробь $\frac{3}{5}$. Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю (то есть на $\frac{5}{3}$):
$x = 2 \div \frac{3}{5} = 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$ часа.

Мы получили ответ в виде неправильной дроби. Преобразуем его в более привычный формат — часы и минуты. Сначала выделим целую часть:
$\frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ часа.

Это означает, что концерт продолжался 3 полных часа и еще $\frac{1}{3}$ часа. Теперь переведем дробную часть часа в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому:
$\frac{1}{3} \text{ часа} = \frac{1}{3} \cdot 60 \text{ минут} = 20 \text{ минут}$.

Следовательно, общая продолжительность концерта составляет 3 часа и 20 минут.

Ответ: 3 ч 20 мин.

5.89 Из амбара отгрузили 811 зерна, находившегося в нём. Сколько тонн зерна было в амбаре, если отгрузили 48 т?

Это задача на нахождение целого по его части. Нам известно, что $\frac{8}{11}$ всего зерна, которое было в амбаре, составляют 48 тонн.

Пусть $x$ — это общее количество зерна в амбаре в тоннах. Тогда можно составить следующее соотношение:

$\frac{8}{11}$ от $x$ равно 48.

Математически это записывается как уравнение:

$\frac{8}{11} \cdot x = 48$

Чтобы найти $x$, нужно значение части (48) разделить на соответствующую ей дробь ($\frac{8}{11}$):

$x = 48 \div \frac{8}{11}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$x = 48 \cdot \frac{11}{8}$

Теперь выполним вычисление. Можно сократить 48 и 8, так как 48 делится на 8 без остатка:

$x = \frac{48 \cdot 11}{8} = 6 \cdot 11 = 66$

Таким образом, первоначально в амбаре было 66 тонн зерна.

Ответ: 66 т.

5.90 Проведите окружность радиусом 4 см, затем проведите диаметр NB. Отметьте на окружности точку К и соедините её с точками N и В. Измерьте отрезки NB, NK, КВ. Какой из них самый длинный?

$\mathrm{NB} = 8\text{ см}$, $\mathrm{NK} = 6\text{ см }6\text{ мм}$, $\mathrm{KB} = 4\text{ см }5\text{ мм}$

Диаметр окружности - отрезок NB

самый длинный

Для решения этой задачи выполним последовательно все шаги.

1. Построение и измерение отрезков

Сначала мы строим окружность с радиусом $r = 4$ см. Затем проводим через ее центр диаметр и обозначаем его концы буквами $N$ и $B$. Длина диаметра $NB$ равна двум радиусам:
$NB = 2 \times r = 2 \times 4 = 8$ см.
Далее, мы отмечаем на окружности произвольную точку $K$ и соединяем ее с точками $N$ и $B$. У нас получается треугольник $NKB$.
При измерении длин сторон $NK$ и $KB$ с помощью линейки мы получим значения, которые будут зависеть от расположения точки $K$. Однако, какое бы положение для точки $K$ мы ни выбрали, измерения покажут, что длины отрезков $NK$ и $KB$ меньше длины отрезка $NB$.

Ответ: Длина отрезка $NB$ составляет 8 см. Длины отрезков $NK$ и $KB$ будут меньше 8 см.

2. Какой из них самый длинный?

Чтобы ответить на этот вопрос теоретически, рассмотрим треугольник $\triangle NKB$. Этот треугольник вписан в окружность, и одна из его сторон, $NB$, является диаметром.
Существует теорема, которая гласит: угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, является прямым.
Это означает, что угол $\angle NKB$ равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle NKB$ — прямоугольный.
В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой. В нашем случае это сторона $NB$. Две другие стороны, $NK$ и $KB$, являются катетами.
В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов.
Таким образом, отрезок $NB$ всегда будет самым длинным.

Ответ: Самый длинный отрезок — $NB$.

5.91 Какую часть:

а) 1 дм² составляет 1 мм²;

б) 1 дм³ составляет 1 мм³;

в) 1 км² составляет 1 м²;

г) 1 км³ составляет 1 м³?

а) 1 дм? составляет 1 мм?;

Чтобы определить, какую часть 1 мм? составляет от 1 дм?, необходимо выразить обе величины в одинаковых единицах измерения. Удобнее всего перевести дециметры в миллиметры.

Мы знаем, что в 1 дециметре (дм) содержится 10 сантиметров (см), а в 1 сантиметре — 10 миллиметров (мм). Следовательно:

$1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 10 \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$.

Теперь найдем соотношение для квадратных единиц. Площадь квадрата со стороной 1 дм равна 1 дм?:

$1 \text{ дм}^2 = (1 \text{ дм}) \times (1 \text{ дм}) = (100 \text{ мм}) \times (100 \text{ мм}) = 10\,000 \text{ мм}^2$.

Таким образом, 1 квадратный дециметр равен 10 000 квадратных миллиметров.

Чтобы найти, какую часть 1 мм? составляет от 1 дм?, нужно разделить 1 мм? на 1 дм? (выраженный в мм?):

$\frac{1 \text{ мм}^2}{1 \text{ дм}^2} = \frac{1 \text{ мм}^2}{10\,000 \text{ мм}^2} = \frac{1}{10\,000}$.

Ответ: $1 \text{ мм}^2$ составляет $\frac{1}{10\,000}$ часть от $1 \text{ дм}^2$.

б) 1 дм? составляет 1 мм?;

Для определения, какую часть 1 мм? составляет от 1 дм?, мы используем тот же принцип, что и в предыдущем пункте. Сначала переведем кубические дециметры в кубические миллиметры.

Известно, что $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$.

Найдем соотношение для кубических единиц. Объем куба со стороной 1 дм равен 1 дм?:

$1 \text{ дм}^3 = (1 \text{ дм}) \times (1 \text{ дм}) \times (1 \text{ дм}) = (100 \text{ мм}) \times (100 \text{ мм}) \times (100 \text{ мм}) = 1\,000\,000 \text{ мм}^3$.

Таким образом, 1 кубический дециметр равен 1 000 000 кубических миллиметров.

Чтобы найти, какую часть 1 мм? составляет от 1 дм?, разделим 1 мм? на 1 дм? (выраженный в мм?):

$\frac{1 \text{ мм}^3}{1 \text{ дм}^3} = \frac{1 \text{ мм}^3}{1\,000\,000 \text{ мм}^3} = \frac{1}{1\,000\,000}$.

Ответ: $1 \text{ мм}^3$ составляет $\frac{1}{1\,000\,000}$ часть от $1 \text{ дм}^3$.

в) 1 км? составляет 1 м?;

Чтобы определить, какую часть 1 м? составляет от 1 км?, переведем квадратные километры в квадратные метры.

Мы знаем, что в 1 километре (км) содержится 1000 метров (м):

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.

Теперь найдем соотношение для квадратных единиц:

$1 \text{ км}^2 = (1 \text{ км}) \times (1 \text{ км}) = (1000 \text{ м}) \times (1000 \text{ м}) = 1\,000\,000 \text{ м}^2$.

Таким образом, 1 квадратный километр равен 1 000 000 квадратных метров.

Найдем искомую часть, разделив 1 м? на 1 км? (выраженный в м?):

$\frac{1 \text{ м}^2}{1 \text{ км}^2} = \frac{1 \text{ м}^2}{1\,000\,000 \text{ м}^2} = \frac{1}{1\,000\,000}$.

Ответ: $1 \text{ м}^2$ составляет $\frac{1}{1\,000\,000}$ часть от $1 \text{ км}^2$.

г) 1 км? составляет 1 м??

Чтобы определить, какую часть 1 м? составляет от 1 км?, переведем кубические километры в кубические метры.

Известно, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.

Найдем соотношение для кубических единиц:

$1 \text{ км}^3 = (1 \text{ км}) \times (1 \text{ км}) \times (1 \text{ км}) = (1000 \text{ м}) \times (1000 \text{ м}) \times (1000 \text{ м}) = 1\,000\,000\,000 \text{ м}^3$.

Таким образом, 1 кубический километр равен 1 000 000 000 (одному миллиарду) кубических метров.

Найдем искомую часть, разделив 1 м? на 1 км? (выраженный в м?):

$\frac{1 \text{ м}^3}{1 \text{ км}^3} = \frac{1 \text{ м}^3}{1\,000\,000\,000 \text{ м}^3} = \frac{1}{1\,000\,000\,000}$.

Ответ: $1 \text{ м}^3$ составляет $\frac{1}{1\,000\,000\,000}$ часть от $1 \text{ км}^3$.