Вопросы в параграфе, страница 49, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Глава 2. Дробные числа. Параграф 5. Обыкновенные дроби. 32. Сложение и вычитание смешанных чисел - страница 49.

Условие.

?

Как сложить смешанные числа?

Какие свойства сложения используются при сложении смешанных чисел?

Как вычесть дробь из натурального числа?

Как вычесть смешанное число из натурального числа?

Решение 1.

Как сложить смешанные числа?

Чтобы сложить смешанные числа, нужно сложить отдельно целые части и отдельно дробные части.

Какие свойства сложения используются при сложении смешанных чисел?

При сложении смешанных чисел используются переместительное и сочетательное свойства сложения.

Как вычесть дробь из натурального числа?

Чтобы вычесть дробь из натурального числа, нужно представить натуральное число в виде смешанного числа. Для этого занимаем у натурального числа единицу и представляем её в виде неправильной дроби, у которой и числитель, и знаменатель равны знаменателю вычитаемого. Далее из дробной части полученного смешанного числа вычитаем дробь.

Как вычесть смешанное число из натурального числа?

Чтобы вычесть смешанное число из натурального числа, нужно представить натуральное число в виде смешанного числа. Для этого занимаем у натурального числа единицу и представляем её в виде неправильной дроби, у которой и числитель, и знаменатель равны знаменателю вычитаемого. Далее отдельно вычитаем целые части и отдельно дробные.

Решение 2.

Как сложить смешанные числа?

Существует два основных способа сложения смешанных чисел.

Способ 1. Сложение целых и дробных частей по отдельности.

1. Сложить целые части смешанных чисел.
2. Сложить дробные части. Если у них разные знаменатели, их нужно привести к общему знаменателю.
3. Сложить полученные результаты.
4. Если сумма дробных частей оказалась неправильной дробью (числитель больше или равен знаменателю), нужно выделить из нее целую часть и прибавить к сумме целых частей.

Пример 1: Сложим $3\frac{1}{4}$ и $5\frac{2}{3}$.

• Складываем целые части: $3 + 5 = 8$.
• Складываем дробные части, приводя их к общему знаменателю 12: $\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3}{12} + \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$.
• Складываем результаты: $8 + \frac{11}{12} = 8\frac{11}{12}$.

Пример 2 (с неправильной дробью): Сложим $2\frac{3}{5}$ и $4\frac{4}{5}$.

• Складываем целые части: $2 + 4 = 6$.
• Складываем дробные части: $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$.
• Дробь $\frac{7}{5}$ — неправильная. Выделим из нее целую часть: $\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$.
• Прибавим эту целую часть к сумме целых частей: $6 + 1\frac{2}{5} = 7\frac{2}{5}$.

Способ 2. Преобразование в неправильные дроби.

1. Преобразовать каждое смешанное число в неправильную дробь.
2. Сложить полученные дроби (при необходимости приведя их к общему знаменателю).
3. Если результат — неправильная дробь, преобразовать его обратно в смешанное число.

Пример: Сложим $3\frac{1}{4}$ и $5\frac{2}{3}$.

• Преобразуем в неправильные дроби: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$; $5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$.
• Складываем дроби: $\frac{13}{4} + \frac{17}{3} = \frac{13 \cdot 3}{12} + \frac{17 \cdot 4}{12} = \frac{39}{12} + \frac{68}{12} = \frac{107}{12}$.
• Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{107}{12} = 8\frac{11}{12}$.

Ответ: Чтобы сложить смешанные числа, можно сложить их целые и дробные части по отдельности, а затем сложить результаты, или можно сначала преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, сложить их, а затем преобразовать результат обратно в смешанное число.

Какие свойства сложения используются при сложении смешанных чисел?

При сложении смешанных чисел, особенно при использовании способа раздельного сложения целых и дробных частей, используются основные свойства сложения.

Смешанное число, например $A\frac{b}{c}$, по определению является суммой его целой и дробной части: $A + \frac{b}{c}$.

Рассмотрим сумму двух смешанных чисел $A\frac{b}{c}$ и $D\frac{e}{f}$:

$A\frac{b}{c} + D\frac{e}{f} = (A + \frac{b}{c}) + (D + \frac{e}{f})$

Чтобы сгруппировать целые части с целыми, а дробные с дробными, мы применяем следующие свойства:

1. Переместительное (коммутативное) свойство сложения: $a + b = b + a$. Это свойство позволяет менять слагаемые местами.
2. Сочетательное (ассоциативное) свойство сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Это свойство позволяет произвольно группировать слагаемые.

Используя эти свойства, мы можем преобразовать выражение:

$(A + \frac{b}{c}) + (D + \frac{e}{f}) = A + (\frac{b}{c} + D) + \frac{e}{f} = A + (D + \frac{b}{c}) + \frac{e}{f} = (A + D) + (\frac{b}{c} + \frac{e}{f})$

Именно это преобразование и лежит в основе метода, где целые части складываются с целыми, а дробные — с дробными.

Ответ: При сложении смешанных чисел используются переместительное (коммутативное) и сочетательное (ассоциативное) свойства сложения.

Как вычесть дробь из натурального числа?

Чтобы вычесть обыкновенную правильную дробь из натурального числа, нужно выполнить следующие шаги:

1. "Занять" единицу у натурального числа. Например, число 5 можно представить как $4 + 1$.
2. Представить эту единицу в виде дроби с тем же знаменателем, что и у вычитаемой дроби. Например, если мы вычитаем дробь со знаменателем 7, то 1 представляется как $\frac{7}{7}$.
3. Выполнить вычитание дробей.
4. Записать результат в виде смешанного числа, состоящего из оставшейся целой части и полученной дроби.

Пример: Вычтем $\frac{3}{8}$ из $6$.

$6 - \frac{3}{8}$

1. Представляем 6 как $5+1$. Получаем: $5 + 1 - \frac{3}{8}$.
2. Представляем 1 как дробь со знаменателем 8: $1 = \frac{8}{8}$. Выражение принимает вид: $5 + \frac{8}{8} - \frac{3}{8}$.
3. Вычитаем дроби: $\frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{8-3}{8} = \frac{5}{8}$.
4. Записываем окончательный результат: $5\frac{5}{8}$.

Ответ: Чтобы вычесть дробь из натурального числа, нужно занять у этого числа единицу, представить ее в виде дроби с нужным знаменателем, выполнить вычитание дробей и записать результат, состоящий из уменьшенной на единицу целой части и полученной дроби.

Как вычесть смешанное число из натурального числа?

Чтобы вычесть смешанное число из натурального числа, можно действовать одним из двух способов.

Способ 1. Последовательное вычитание.

1. Из натурального числа вычесть целую часть смешанного числа.
2. Из полученного результата вычесть дробную часть смешанного числа (как в предыдущем вопросе).

Пример: Вычтем $3\frac{4}{7}$ из $9$.

$9 - 3\frac{4}{7}$

1. Вычитаем целую часть: $9 - 3 = 6$. Теперь задача сводится к $6 - \frac{4}{7}$.
2. Вычитаем дробь из полученного числа. "Занимаем" единицу у 6: $6 = 5 + 1$.
3. Представляем 1 как дробь со знаменателем 7: $1 = \frac{7}{7}$.
4. Выполняем вычитание: $5 + \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = 5 + \frac{7-4}{7} = 5 + \frac{3}{7} = 5\frac{3}{7}$.

Способ 2. Преобразование в неправильные дроби.

1. Представить натуральное число в виде неправильной дроби с тем же знаменателем, что и у дробной части вычитаемого смешанного числа.
2. Преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
3. Выполнить вычитание дробей.
4. Если результат — неправильная дробь, преобразовать его обратно в смешанное число.

Пример: Вычтем $3\frac{4}{7}$ из $9$.

• Представляем 9 в виде дроби со знаменателем 7: $9 = \frac{9 \cdot 7}{7} = \frac{63}{7}$.
• Преобразуем $3\frac{4}{7}$ в неправильную дробь: $3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}$.
• Вычитаем дроби: $\frac{63}{7} - \frac{25}{7} = \frac{63 - 25}{7} = \frac{38}{7}$.
• Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{38}{7} = 5\frac{3}{7}$.

Ответ: Чтобы вычесть смешанное число из натурального, можно сначала вычесть целую часть, а затем дробную; либо можно преобразовать оба числа в неправильные дроби, выполнить вычитание, и, если нужно, преобразовать ответ обратно в смешанное число.

Решение 4.