номер 250, страница 56, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

250. Зависимость между какими величинами является прямо пропорциональной или обратно пропорциональной:

1) длины окружности от длины ее радиуса;

2) площади круга от длины его радиуса.

1) Зависимость длины окружности $\text{C}$ от длины ее радиуса $\text{r}$ выражается формулой $C = 2\pi r$.

Это формула вида $y = kx$, где $y = C$, $x = r$, а $k = 2\pi$. Так как $\pi$ — это константа, то и $2\pi$ является постоянным коэффициентом.

Такая зависимость, в которой одна величина равна другой, умноженной на постоянный коэффициент, называется прямо пропорциональной. При увеличении радиуса в несколько раз, длина окружности увеличится во столько же раз. Например, если радиус увеличить в 3 раза, то новая длина окружности будет $C' = 2\pi(3r) = 3 \cdot (2\pi r) = 3C$, то есть тоже увеличится в 3 раза.

Ответ: прямо пропорциональная.

2) Зависимость площади круга $\text{S}$ от длины его радиуса $\text{r}$ выражается формулой $S = \pi r^2$.

Проверим, является ли эта зависимость прямо пропорциональной. Для этого отношение $S/r$ должно быть постоянным. $S/r = (\pi r^2)/r = \pi r$. Это отношение зависит от $\text{r}$, значит оно не является постоянным. Следовательно, зависимость не является прямо пропорциональной.

Проверим, является ли зависимость обратно пропорциональной. Для этого произведение $S \cdot r$ должно быть постоянным. $S \cdot r = (\pi r^2) \cdot r = \pi r^3$. Это произведение также зависит от $\text{r}$ и не является постоянным. Следовательно, зависимость не является обратно пропорциональной.

Данная зависимость является квадратичной. При увеличении радиуса в $\text{n}$ раз, площадь увеличивается в $n^2$ раз: $S' = \pi(nr)^2 = \pi n^2 r^2 = n^2 S$. Поскольку увеличение величин происходит не в одинаковое число раз, эта зависимость не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

Ответ: зависимость не является ни прямо пропорциональной, ни обратно пропорциональной.